خوشتعریف بودن نگاشت القایی روی گروه بنیادی
فرض کنید
φ : (X,x0) → (Y,y0)
یک نگاشت پیوسته بین دو فضای نشانهدار باشد. برای هر حلقه
f
در
X
بر پایهی
x0
تعریف میکنیم:
φ*([f]) = [φ ∘ f]
اکنون باید نشان دهیم که این تعریف خوشتعریف است؛ یعنی اگر
[f] = [g]
باشد، آنگاه:
[φ ∘ f] = [φ ∘ g]
چون
[f] = [g]
، یک هموتوپی نسبی بین
f
و
g
وجود دارد. یعنی تابعی از نوع
H : I × I → X
داریم به طوری که:
H(s,0) = f(s)
H(s,1) = g(s)
H(0,t) = H(1,t) = x0
اکنون ترکیب این هموتوپی با
φ
را در نظر میگیریم:
φ ∘ H : I × I → Y
این تابع نیز یک هموتوپی بین
φ ∘ f
و
φ ∘ g
است، زیرا:
(φ ∘ H)(s,0) = φ(H(s,0)) = φ(f(s))
(φ ∘ H)(s,1) = φ(H(s,1)) = φ(g(s))
همچنین چون برای همهی
t ∈ I
داریم:
H(0,t) = H(1,t) = x0
پس:
(φ ∘ H)(0,t) = φ(x0) = y0
(φ ∘ H)(1,t) = φ(x0) = y0
بنابراین این هموتوپی نیز نسبی نسبت به نقاط پایه است. در نتیجه:
[φ ∘ f] = [φ ∘ g]
پس تعریف
φ*([f]) = [φ ∘ f]
مستقل از انتخاب نمایندهی کلاس هموتوپی است و بنابراین
φ*
خوشتعریف میباشد.
نتیجه
در نتیجه، نگاشت القایی
φ* : π1(X,x0) → π1(Y,y0)
بهخوبی تعریف شده است و این نخستین گام برای اثبات فونکتوری بودن گروه بنیادی به شمار میآید.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.