نگاشت القایی روی گروه بنیادی و اثبات همریختی بودن آن
فرض کنید
φ : (X,x0) → (Y,y0)
یک نگاشت پیوسته بین دو فضای توپولوژیک نشانهدار باشد. در این صورت، نگاشت القایی
φ*
روی گروههای بنیادی به صورت زیر تعریف میشود:
φ* : π1(X,x0) → π1(Y,y0),
φ*([f]) = [φ ∘ f]
یعنی به هر کلاس هموتوپی حلقه
[f]
در فضای
X
، کلاس هموتوپی حلقه
φ ∘ f
در فضای
Y
نسبت داده میشود.
اثبات همریختی بودن نگاشت القایی
برای اثبات اینکه
φ*
یک همریختی گروهی است، باید نشان دهیم:
φ*([f]*[g]) = φ*([f]) * φ*([g])
فرض کنید
f
و
g
دو حلقه در
X
با نقطه پایه
x0
باشند. طبق تعریف ضرب در گروه بنیادی، داریم:
(f*g)(s) =
{ f(2s) 0 ≤ s ≤ 1/2
{ g(2s-1) 1/2 ≤ s ≤ 1
اکنون ترکیب این مسیر با نگاشت
φ
را محاسبه میکنیم:
(φ ∘ (f*g))(s) =
{ φ(f(2s)) 0 ≤ s ≤ 1/2
{ φ(g(2s-1)) 1/2 ≤ s ≤ 1
از سوی دیگر، اگر ابتدا
f
و
g
را به وسیلهی
φ
به فضای
Y
بفرستیم و سپس ضرب بگیریم، خواهیم داشت:
((φ ∘ f) * (φ ∘ g))(s) =
{ (φ ∘ f)(2s) 0 ≤ s ≤ 1/2
{ (φ ∘ g)(2s-1) 1/2 ≤ s ≤ 1
ولی واضح است که:
(φ ∘ (f*g))(s) = ((φ ∘ f) * (φ ∘ g))(s)
پس نتیجه میگیریم:
φ ∘ (f*g) = (φ ∘ f) * (φ ∘ g)
بنابراین در سطح کلاسهای هموتوپی داریم:
φ*([f]*[g])
= [φ ∘ (f*g)]
= [(φ ∘ f) * (φ ∘ g)]
= [φ ∘ f] * [φ ∘ g]
= φ*([f]) * φ*([g])
در نتیجه، نگاشت القایی
φ*
یک همریختی از
π1(X,x0)
به
π1(Y,y0)
است.
ویژگیهای فونکتوری نگاشت القایی
نگاشت القایی علاوه بر همریختی بودن، دو خاصیت مهم دیگر نیز دارد:
1) سازگاری با نگاشت همانی
اگر
idX : X → X
نگاشت همانی باشد، آنگاه:
(idX)* = idπ1(X,x0)
زیرا برای هر
[f] ∈ π1(X,x0)
داریم:
(idX)*([f]) = [idX ∘ f] = [f]
2) سازگاری با ترکیب نگاشتها
اگر
φ : (X,x0) → (Y,y0)
و
ψ : (Y,y0) → (Z,z0)
دو نگاشت پیوسته باشند، آنگاه:
(ψ ∘ φ)* = ψ* ∘ φ*
زیرا برای هر کلاس
[f]
داریم:
((ψ ∘ φ)*)([f])
= [(ψ ∘ φ) ∘ f]
= [ψ ∘ (φ ∘ f)]
= ψ*([φ ∘ f])
= (ψ* ∘ φ*)([f])
نتیجه
پس نگاشت القایی نه تنها یک همریختی بین گروههای بنیادی ایجاد میکند، بلکه با نگاشت همانی و ترکیب نگاشتها نیز سازگار است. به همین دلیل، گروه بنیادی یک
functor
از ردهی فضاهای نشانهدار به ردهی گروهها به شمار میآید.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.