قضیه: نگاشت القایی روی گروه بنیادی یک همریختی است
فرض کنید φ: X → Y یک نگاشت پیوسته باشد و x0 ∈ X یک نقطه پایه باشد. آنگاه نگاشت القایی
روی گروه بنیادی به صورت زیر تعریف میشود:
φ* : π1(X, x0) → π1(Y, φ(x0))
φ*([f]) = [φ ∁ f]
در ادامه نشان میدهیم که این نگاشت، یک همریختی گروهی است.
اثبات
برای هر دو کلاس [f] و [g] در π1(X, x0) داریم:
φ*([f] * [g]) = φ*([f * g]) = [φ ∁ (f * g)]
= [(φ ∁ f) * (φ ∁ g)]
= [φ ∁ f] * [φ ∁ g]
= φ*([f]) * φ*([g])
پس نگاشت φ* ضرب را حفظ میکند، بنابراین یک همریختی گروهی است.
خوشتعریف بودن نگاشت
اگر دو حلقه f و g در X هموتوپ باشند، یعنی
[f] = [g]، چون φ پیوسته است، ترکیب آن با این دو حلقه نیز هموتوپ خواهد بود:
f ≃ g ⇒ φ ∁ f ≃ φ ∁ g
بنابراین تعریف
φ*([f]) = [φ ∁ f]
به نمایندهی کلاس هموتوپی وابسته نیست و نگاشت خوشتعریف است.
نتیجه:
اگر φ: X → Y پیوسته باشد، آنگاه نگاشت القایی
φ* : π1(X, x0) → π1(Y, φ(x0))
یک همریختی گروهی است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.