قضیه: استقلال گروه بنیادی از نقطه پایه در فضاهای همبند راهی
در توپولوژی جبری، گروه بنیادی یک فضا به ظاهر به انتخاب نقطه پایه وابسته است. با این حال، اگر فضای تحت مطالعه همبند راهی باشد، گروههای بنیادی در هر دو نقطه دلخواه یکریخت خواهند بود. در ادامه این قضیه را به طور دقیق بیان و اثبات میکنیم.
بیان قضیه: فرض کنید X یک فضای همبند راهی و x₀, x₁ ∈ X دو نقطه دلخواه باشند. در این صورت:
π₁(X, x₀) ≅ π₁(X, x₁)
اثبات قضیه:
چون فضا همبند راهی است، پس حداقل یک مسیر مانند α وجود دارد که نقطه x₀ را به x₁ وصل میکند. یعنی:
α: [0, 1] → X , α(0) = x₀ , α(1) = x₁
با استفاده از این مسیر، نگاشت انتقال βα را از π₁(X, x₀) به π₁(X, x₁) به صورت زیر تعریف میکنیم:
βα([f]) = [ᾱ * f * α]
در این تعریف، f یک حلقه بر پایه x₀، مسیر ᾱ معکوس مسیر α (از x₁ به x₀) و علامت * نشاندهنده ضرب مسیرهاست. برای اثبات اینکه βα یک یکریختی گروهی است، باید سه گام را طی کنیم:
گام اول: خوشتعریف بودن (Well-definedness)
باید نشان دهیم که تعریف نگاشت به نماینده کلاس هموتوپی بستگی ندارد. فرض کنید [f] = [g] در π₁(X, x₀) باشد. این یعنی هموتوپی با حفظ نقاط مرزی بین f و g وجود دارد. با ترکیب هموتوپیها، آشکار است که هموتوپی با حفظ نقاط مرزی بین دو مسیر ترکیبشده نیز برقرار است:
ᾱ * f * α ≃ ᾱ * g * α ⇒ [ᾱ * f * α] = [ᾱ * g * α]
بنابراین نگاشت خوشتعریف است.
گام دوم: همومورفیسم گروهی (Group Homomorphism)
باید نشان دهیم ضرب گروهی تحت این نگاشت حفظ میشود. برای دو کلاس [f] و [g] داریم:
βα([f] · [g]) = βα([f * g]) = [ᾱ * (f * g) * α]
βα([f]) · βα([g]) = [ᾱ * f * α] * [ᾱ * g * α] = [ᾱ * f * (α * ᾱ) * g * α]
از آنجا که ترکیب مسیر α * ᾱ با هموتوپی به مسیر ثابت در نقطه x₀ (یعنی ex₀) تقلیل مییابد، داریم:
ᾱ * f * (α * ᾱ) * g * α ≃ ᾱ * f * ex₀ * g * α ≃ ᾱ * (f * g) * α
در نتیجه، βα([f] · [g]) = βα([f]) · βα([g]) برقرار است.
گام سوم: یکبهیک و پوشا بودن (Bijection)
برای اثبات دوسویی، نشان میدهیم که نگاشت βᾱ (نگاشت انتقال در امتداد مسیر معکوس) وارون چپ و راست نگاشت اول است:
βᾱ(βα([f])) = βᾱ([ᾱ * f * α]) = [α * (ᾱ * f * α) * ᾱ]
≃ [ex₀ * f * ex₀] ≃ [f]
به طور مشابه، βα ˆ βᾱ = id روی π₁(X, x₁) برقرار است. از این رو، نگاشت βα یک ایزومورفیسم (یکریختی) است.
نکته مهم: اگرچه گروههای بنیادی همارز و یکریخت هستند، اما این یکریختی به طور کلی به انتخاب مسیر α بستگی دارد. اگر دو مسیر ناهموتوپ میان دو نقطه وجود داشته باشند، یکریختیهای متفاوتی تولید میکنند که تفاوت آنها در حد یک خودریختی داخلی (Inner Automorphism) خواهد بود.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.