توسط علی رضا نقش نیلچی
| پنجشنبه یکم مرداد ۱۴۰۵ | 20:10
اثبات وجود عضو معکوس در گروه بنیادی
فرض کنید f مسیری در فضای X از نقطه x0 به x1 باشد. کلاس معکوس این مسیر با [f̄] نمایش داده میشود که در آن:
f̄(t) = f(1 - t)
برای اثبات اینکه [f * f̄] = [e]، نگاشت هموتوپی F(t, s) را به صورت زیر تعریف میکنیم:
F(t, s) =
{ f(2t(1 - s)) , 0 ≤ t ≤ 1/2
{ f(2(1 - t)(1 - s)) , 1/2 ≤ t ≤ 1
تحلیل هموتوپی:
- در لحظه s = 0: مسیر تا انتهای f میرود و باز میگردد (یعنی همان حاصلضرب f * f̄).
- در لحظه s = 1: برای هر مقدار t، مقدار نگاشت برابر با f(0) = x0 میشود (یعنی مسیر ثابت e).
- پیوستگی: در نقطه شکست t = 1/2، هر دو ضابطه مقدار f(1 - s) را میدهند، بنابراین نگاشت در تمام بازه پیوسته است.
بنابراین f * f̄ ∼ e است و در نتیجه در ساختار گروهی داریم:
[f][f̄] = [e]
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.