ریاضیات

:::writing
حل قسمت (ج)

بررسی حل تحلیلی معادله شرودینگر برای پتانسیل خطی

------------------------------------------------

1) پتانسیل مسئله

پتانسیل خطی به صورت زیر داده می‌شود:

V(x) = kx

------------------------------------------------

2) معادله شرودینگر مستقل از زمان

معادله شرودینگر یک بعدی:

-(h^2 / 2m) * d^2ψ/dx^2 + V(x) ψ = E ψ

با قرار دادن پتانسیل:

-(h^2 / 2m) * d^2ψ/dx^2 + kx ψ = E ψ

------------------------------------------------

3) مرتب کردن معادله

انتقال جمله انرژی:

-(h^2 / 2m) d^2ψ/dx^2 + (kx - E) ψ = 0

ضرب در (2m / h^2):

d^2ψ/dx^2 = (2m / h^2) (kx - E) ψ

------------------------------------------------

4) تغییر متغیر

متغیر جدید تعریف می‌کنیم:

z = (2mk / h^2)^(1/3) ( x - E/k )

با این تغییر متغیر معادله به شکل ساده تبدیل می‌شود:

d^2ψ/dz^2 - z ψ = 0

------------------------------------------------

5) معادله Airy

معادله بالا همان معادله Airy است.

حل عمومی آن:

ψ(z) = A Ai(z) + B Bi(z)

که در آن:

Ai(z) تابع Airy نوع اول
Bi(z) تابع Airy نوع دوم

------------------------------------------------

6) شرط فیزیکی

تابع Bi(z) برای z بزرگ واگرا می‌شود، بنابراین برای قابل نرمال‌سازی بودن تابع موج باید ضریب آن صفر باشد.

پس:

ψ(z) = A Ai(z)

------------------------------------------------

نتیجه

معادله شرودینگر برای پتانسیل خطی دارای حل تحلیلی است، اما جواب آن با توابع ویژه Airy بیان می‌شود:

ψ(x) = A Ai(z)

که در آن:

z = (2mk / h^2)^(1/3) ( x - E/k )
:::