ریاضیات

:::writing

حل قسمت (ب)

پتانسیل برهم‌کنش بین دو الکترون به صورت زیر داده شده است:

V = k |r1 − r2|

می‌خواهیم تصحیح انرژی حالت سینگلت را با استفاده از نظریه اختلال مرتبه اول محاسبه کنیم.

------------------------------------------------

1) تابع موج حالت پایه

تابع موج اوربیتال 1s:

phi(r) = (1 / sqrt(pi a0^3)) * exp(-r / a0)

تابع موج فضایی دو الکترون:

psi(r1 , r2) = phi(r1) * phi(r2)

بنابراین:

|psi|^2 = (1 / (pi^2 a0^6)) * exp[-2(r1 + r2)/a0]

------------------------------------------------

2) حالت اسپینی سینگلت

تابع اسپین سینگلت:

chi = (1 / sqrt(2)) (↑↓ − ↓↑)

چون تابع اسپین پادمتقارن است، تابع فضایی متقارن خواهد بود.

------------------------------------------------

3) تصحیح انرژی مرتبه اول

طبق نظریه اختلال:

E^(1) =

پس:

E^(1) = k ∫ |psi(r1 , r2)|^2 |r1 − r2| d^3r1 d^3r2

------------------------------------------------

4) جایگذاری تابع موج

E^(1) = (k / (pi^2 a0^6)) ∫ exp[-2(r1 + r2)/a0] |r1 − r2| d^3r1 d^3r2

------------------------------------------------

5) محاسبه انتگرال

از انتگرال‌های استاندارد دو الکترونی داریم:

∫ exp[-2(r1 + r2)/a0] |r1 − r2| d^3r1 d^3r2

= (5/8) pi^2 a0^7

------------------------------------------------

6) نتیجه

با قرار دادن نتیجه انتگرال در رابطه انرژی:

E^(1) = (k / (pi^2 a0^6)) * (5/8) pi^2 a0^7

ساده‌سازی:

E^(1) = (5/8) k a0

------------------------------------------------

نتیجه نهایی

تصحیح انرژی حالت سینگلت برابر است با:

E^(1) = (5/8) k a0

و انرژی کل سیستم:

E = E0 + (5/8) k a0

:::