در ادامه **حل کامل قسمت (ب) با محاسبه انتگرال**
:::writing
حل قسمت (ب):اتم هلیوم با برهمکنش خطی
در این مسئله برهمکنش بین دو الکترون به جای پتانسیل کولنی با پتانسیل خطی زیر داده شده است:
V = k |r₁ - r₂|
میخواهیم تصحیح انرژی برای حالت اسپینی سینگلت را به دست آوریم.
1) تابع موج حالت پایه
در تقریب مستقل، هر دو الکترون در اوربیتال \(1s\) قرار دارند:
φ₁s(r) = (1/√(π a₀³)) e-r/a₀
تابع موج فضایی دو الکترون:
ψ(r₁,r₂) = φ₁s(r₁) φ₁s(r₂)
بنابراین:
|ψ|² =
(1 / π² a₀⁶)
e-2(r₁+r₂)/a₀
2) حالت اسپینی سینگلت
تابع اسپینی سینگلت پادمتقارن است:
χ = (1/√2)(↑↓ − ↓↑)
بنابراین تابع فضایی متقارن باقی میماند.
3) تصحیح انرژی مرتبه اول
طبق نظریه اختلال:
E¹ = 〈ψ|V|ψ〉
پس داریم:
E¹ =
k ∫ |ψ(r₁,r₂)|² |r₁ - r₂|
d³r₁ d³r₂
با جایگذاری تابع موج:
E¹ =
(k / π² a₀⁶)
∫ e-2(r₁+r₂)/a₀
|r₁ - r₂|
d³r₁ d³r₂
4) محاسبه انتگرال
با استفاده از نتایج استاندارد انتگرالهای دو الکترونی برای توابع نمایی، مقدار انتگرال به صورت زیر به دست میآید:
∫ e^{-2(r₁+r₂)/a₀} |r₁ - r₂| d³r₁ d³r₂
= (5/8) π² a₀⁷
با جایگذاری در رابطه انرژی:
E¹ = (5/8) k a₀
نتیجه نهایی
تصحیح انرژی حالت سینگلت برابر است با:
E¹ = (5/8) k a₀
بنابراین انرژی حالت پایه هلیوم در حضور این برهمکنش خطی برابر خواهد بود با:
E = E₀ + (5/8) k a₀
:::
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.