مثال چهارم: روش وردشی برای نوسانگر آنهارمونیک (پتانسیل x⁴)
در این مثال میخواهیم انرژی حالت پایه پتانسیل آنهارمونیک زیر را با روش تغییرات تقریب بزنیم:
V(x) = (1/2) m ω² x² + λ x⁴
یک تابع آزمون گاوسی انتخاب میکنیم:
ψ(x) = exp(-α x²)
که در آن α پارامتر وردشی است.
1) نرمالسازی
N = ∫_{-∞}^{∞} e^{-2αx²} dx
فرمول انتگرال گاوسی:
∫_{-∞}^{∞} e^{-ax²} dx = √(π/a)
پس:
N = √(π / 2α)
2) انرژی جنبشی
اپراتور:
T = - (ħ² / 2m) d²/dx²
نتیجه محاسبه استاندارد برای تابع گاوسی:
<T> = ħ² α / (2m)
3) انرژی پتانسیل هارمونیک
<x²> = 1 / (4α)
پس:
<V_h> = (1/2) m ω² (1 / 4α)
<V_h> = m ω² / (8α)
4) جمله آنهارمونیک
برای گاوسی داریم:
<x⁴> = 3 / (16 α²)
پس:
<V_{anh}> = λ (3 / 16 α²)
5) انرژی کل
E(α) =
ħ² α / (2m)
+ m ω² / (8α)
+ 3λ / (16 α²)
6) کمینه کردن انرژی
شرط مینیمم:
dE/dα = 0
مشتق:
dE/dα =
ħ² / (2m)
- m ω² / (8α²)
- 3λ / (8α³)
= 0
این معادله یک معادله جبری برای α بهینه است که معمولاً عددی حل میشود.
نتیجه
روش وردشی نشان میدهد که حضور جمله λx⁴ باعث افزایش انرژی حالت پایه نسبت به نوسانگر ساده میشود.
اگر λ = 0 باشد، نتیجه دقیق نوسانگر هماهنگ به دست میآید:
E₀ = (1/2) ħω
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.