مثال سوم: روش وردشی برای اتم هیدروژن
در این مثال میخواهیم با استفاده از روش تغییرات (Variational Method) انرژی حالت پایه اتم هیدروژن را تقریب بزنیم.
هامیلتونی سیستم برابر است با:
H = - (ħ² / 2m) ∇² - e² / (4π ε₀ r)
یک تابع آزمون ساده انتخاب میکنیم:
ψ(r) = e-βr
که در آن β پارامتر وردشی است.
1) نرمالسازی
N = ∫ |ψ|² d³r
در مختصات کروی:
d³r = 4π r² dr
پس داریم:
N = 4π ∫₀∞ r² e-2βr dr
از رابطه انتگرال استفاده میکنیم:
∫₀∞ r² e-ar dr = 2! / a³
در نتیجه:
N = 4π × 2 / (2β)³
N = π / β³
2) انرژی جنبشی
T = - (ħ² / 2m) ∇²
نتیجه محاسبه مقدار چشمداشتی انرژی جنبشی:
<T> = ħ² β² / (2m)
3) انرژی پتانسیل
پتانسیل کولنی:
V(r) = - e² / (4π ε₀ r)
انرژی پتانسیل متوسط:
<V> =
[ 4π ∫₀∞ r² e-2βr (-e²/(4π ε₀ r)) dr ] / N
پس از سادهسازی:
<V> = - e² β / (4π ε₀)
4) انرژی کل
E(β) = <T> + <V>
E(β) = ħ² β² / (2m) - e² β / (4π ε₀)
5) کمینه کردن انرژی
dE/dβ = 0
مشتق انرژی:
dE/dβ = ħ² β / m - e² / (4π ε₀)
پس مقدار بهینه پارامتر:
β = m e² / (4π ε₀ ħ²)
6) انرژی حالت پایه
با جایگذاری مقدار β در انرژی:
E₀ = - m e⁴ / [2 (4π ε₀)² ħ²]
که مقدار عددی آن برابر است با:
E₀ = -13.6 eV
بنابراین روش وردشی با این تابع آزمون توانست انرژی حالت پایه اتم هیدروژن را به دست آورد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.