مثال دوم: روش وردشی برای چاه پتانسیل بینهایت یکبعدی
در این مثال میخواهیم انرژی حالت پایه یک ذره در چاه پتانسیل بینهایت را با روش تغییرات تقریب بزنیم.
پتانسیل سیستم:
V(x) = 0 , 0 < x < L
V(x) = ∞ , x ≤ 0 or x ≥ L
یک تابع آزمون انتخاب میکنیم که شرایط مرزی را ارضا کند:
ψ(x) = x(L-x)
1) نرمالسازی
ابتدا باید مقدار زیر را حساب کنیم:
N = ∫₀ᴸ |ψ(x)|² dx
|ψ|² = x² (L-x)²
پس داریم:
N = ∫₀ᴸ x² (L-x)² dx
گسترش عبارت:
(L-x)² = L² -2Lx + x²
x²(L-x)² = L²x² -2Lx³ + x⁴
انتگرال:
∫₀ᴸ L²x² dx = L⁵/3
∫₀ᴸ 2Lx³ dx = L⁵/2
∫₀ᴸ x⁴ dx = L⁵/5
پس:
N = L⁵ ( 1/3 − 1/2 + 1/5 )
N = L⁵ / 30
2) انرژی جنبشی
در داخل چاه پتانسیل صفر است، بنابراین انرژی فقط جنبشی است.
H = - (ħ² / 2m) d²/dx²
مشتق اول تابع موج:
ψ'(x) = L - 2x
مشتق دوم:
ψ''(x) = -2
انرژی وردشی:
E = ∫ ψ* ( -ħ²/2m ) ψ'' dx / N
جایگذاری:
E = (ħ²/m) ∫₀ᴸ ψ(x) dx / N
انتگرال:
∫₀ᴸ x(L-x) dx
= ∫₀ᴸ (Lx - x²) dx
= L³/6
پس:
E = (ħ²/m) (L³/6) / (L⁵/30)
3) انرژی نهایی
E = 5 ħ² / (m L²)
انرژی دقیق حالت پایه این سیستم برابر است با:
E₁ = π² ħ² / (2mL²)
که مقدار بهدستآمده با روش وردشی یک تقریب برای آن است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.