مثال: الگوریتم محاسبه انرژی ذره در جعبه یکبعدی
در این مثال میخواهیم انرژیهای مجاز یک ذره با جرم μ را که در یک جعبه یکبعدی با طول L قرار دارد محاسبه کنیم.
مرحله 1: تعریف ناحیه حرکت ذره
0 < x < L
پتانسیل جعبه به صورت زیر تعریف میشود:
V(x) = 0 for 0 < x < L
V(x) = ∞ otherwise
در نتیجه تابع موج روی دیوارههای جعبه صفر است:
ψ(0) = 0
ψ(L) = 0
مرحله 2: نوشتن معادله شرودینگر
-(ħ² / 2μ) d²ψ/dx² = Eψ
مرحله 3: حل معادله دیفرانسیل
حل عمومی معادله به صورت زیر است:
ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx)
با اعمال شرط مرزی:
ψ(0) = 0
نتیجه میگیریم:
B = 0
پس تابع موج به شکل زیر در میآید:
ψ(x) = A sin(kx)
مرحله 4: اعمال شرط مرزی دوم
ψ(L) = 0
بنابراین:
sin(kL) = 0
که نتیجه میدهد:
kL = nπ
k = nπ / L
که در آن:
n = 1 , 2 , 3 , ...
مرحله 5: محاسبه انرژیهای مجاز
E = ħ²k² / 2μ
با قرار دادن مقدار k:
E_n = (n² π² ħ²) / (2μ L²)
مرحله 6: مثال عددی
اگر:
L = 2
انرژی حالت پایه:
E1 = (π² ħ²) / (8 μ)
انرژی اولین حالت برانگیخته:
E2 = (4 π² ħ²) / (8 μ)
E2 = (π² ħ²) / (2 μ)
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.