حل بخش (الف): روش وردشی برای نوسانگر هماهنگ سهبعدی
در این مسئله میخواهیم با استفاده از روش تغییرات (Variational Method) انرژی حالت پایه نوسانگر هماهنگ سهبعدی را به دست آوریم.
تابع آزمون داده شده است:
ψ(r) = m rn e-βr
هامیلتونی نوسانگر هماهنگ سهبعدی:
H = - (ħ² / 2μ) ∇² + (1/2) μ ω² r²
انرژی وردشی به صورت زیر تعریف میشود:
E(β) = <ψ|H|ψ> / <ψ|ψ>
1) محاسبه نرمالسازی
ابتدا مقدار زیر را محاسبه میکنیم:
<ψ|ψ> = ∫ |ψ|² d³r
در مختصات کروی داریم:
d³r = 4π r² dr
بنابراین:
|ψ|² = m² r2n e-2βr
N = 4π m² ∫₀∞ r2n+2 e-2βr dr
تغییر متغیر:
y = 2βr
dr = dy / (2β)
پس انتگرال به صورت زیر میشود:
N = 4π m² /(2β)2n+3 ∫₀∞ y2n+2 e-y dy
با استفاده از رابطه داده شده:
∫₀∞ yk e-y dy = k!
در نتیجه:
N = 4π m² (2n+2)! / (2β)2n+3
2) انرژی پتانسیل
V(r) = (1/2) μ ω² r²
مقدار چشمداشتی انرژی پتانسیل:
<V> = ( ∫ ψ* V ψ d³r ) / N
<V> = (1/2) μ ω² 4π m² ∫₀∞ r2n+4 e-2βr dr / N
انتگرال برابر است با:
∫₀∞ r2n+4 e-2βr dr =
(2n+4)! / (2β)2n+5
پس بعد از سادهسازی:
<V> = μ ω² (2n+4)(2n+3) / (8 β²)
3) انرژی جنبشی
اپراتور انرژی جنبشی:
T = - (ħ² / 2μ) ∇²
برای تابع شعاعی:
∇²ψ = (1/r²) d/dr ( r² dψ/dr )
با محاسبه مشتقها و انجام انتگرالها نتیجه به دست میآید:
<T> = (ħ² β²) / (2μ)
4) انرژی کل
E(β) = <T> + <V>
E(β) = (ħ² β²)/(2μ) + μ ω² (2n+4)(2n+3)/(8 β²)
5) کمینه کردن انرژی
dE/dβ = 0
(ħ²/μ) β − μ ω² (2n+4)(2n+3)/(4 β³) = 0
پس داریم:
β⁴ = μ² ω² (2n+4)(2n+3) / (4 ħ²)
6) انرژی مینیمم
Emin = (ħω / 2) √((2n+4)(2n+3))
این مقدار یک کران بالا برای انرژی حالت پایه نوسانگر هماهنگ سهبعدی است که از روش وردشی به دست آمده است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.