ناهماهنگی در طیفسنجی ارتعاشی: مدل پتانسیل مورس
در مدل نوسانگر هماهنگ، فاصلهی بین ترازها دقیقاً ثابت است. اما در دنیای واقعی با افزایش v (عدد کوانتومی ارتعاشی)، مولکول به سمت گسستگی پیوند نزدیک میشود و فاصله ترازها کمکم کمتر میشود. این رفتار را ناهماهنگی (Anharmonicity) مینامند.
۱. فرمول انرژی ناهماهنگ
فرمول انرژی ارتعاشی واقعیتر به شکل زیر است:
G(v) = ωe (v + 1/2) − ωe xe (v + 1/2)²
که در آن:
- ωe: فرکانس ارتعاشی هماهنگ
- xe: ثابت ناهماهنگی
- ωe xe: اندازه اثر ناهماهنگی
۲. پیامدهای ناهماهنگی
- فاصلهی بین ترازها با افزایش v کمتر میشود.
- فرکانس گذار v=0→1 از v=1→2 کمی بزرگتر است.
- امکان مشاهدهٔ گذارهای فراارتعاشی (overtones) مانند v=0→2 وجود دارد.
- در نهایت، انرژی کافی باعث شکستن پیوند میشود (گسستگی پیوند).
۳. گذارهای ارتعاشی با ناهماهنگی
در نوسانگر هماهنگ فقط گذار Δv = ±1 مجاز بود.
اما در مدل مورس (ناهماهنگ):
- Δv = ±1 (قویترین گذار)
- Δv = ±2 (overtone اول)
- Δv = ±3 (overtone دوم)
شدت گذارهای overtone بسیار کمتر است، اما در طیف IR قابل مشاهدهاند.
۴. مثال عددی: محاسبه موقعیت گذار v=0→1
اگر برای مولکولی داشته باشیم:
ωe = 3000 cm-1
xe = 0.02
مکان خط v=0→1 چقدر است؟
از فرمول اختلاف انرژی استفاده میکنیم:
ΔG = G(1) − G(0)
محاسبه:
G(1) = ωe(3/2) − ωexe(3/2)²
G(0) = ωe(1/2) − ωexe(1/2)²
اختلاف:
ΔG = ωe − 2ωexe
ΔG = 3000 − 2(3000)(0.02)
ΔG = 3000 − 120 = 2880 cm-1
در این مثال، اثر ناهماهنگی باعث شد فرکانس واقعی کمی کمتر از مقدار هماهنگ باشد.
۵. پتانسیل مورس
پتانسیل مورس شکل دقیقتری برای توصیف انرژی پیوند است:
V(r) = De (1 − e−a(r − re))²
ویژگیهای مهم:
- در نزدیکی re شبیه یک نوسانگر هماهنگ است.
- برای کشیدگی زیاد، انرژی اشباع شده و در نهایت پیوند میشکند.
- عمق چاه پتانسیل (De) انرژی گسستگی مولکول است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.