توسط علی رضا نقش نیلچی
| شنبه سی ام خرداد ۱۴۰۵ | 15:57
ردگیری الگوریتم وردشی: مثال نوسانگر هماهنگ یکبعدی
در این مثال، میخواهیم انرژی حالت پایه یک نوسانگر هماهنگ یکبعدی را با استفاده از یک تابع آزمون نمایی (گاوسی) تقریب بزنیم.
ورودیهای مسئله:
Hamiltonian: H = -(ħ² / 2m) (d²/dx²) + (1/2) m ω² x²
Trial Function: ψ(x) = exp(-α x²)
گام 1: محاسبه نرمالسازی (Normalization)
ابتدا انتگرال مربع تابع موج را محاسبه میکنیم تا مخرج کسر انرژی مشخص شود:
<ψ|ψ> = ∫_{-∞}^{+∞} exp(-2α x²) dx = sqrt(π / 2α)
گام 2: محاسبه مقدار چشمداشتی انرژی پتانسیل
پتانسیل ما V = (1/2)mω²x² است. انتگرال آن روی تابع آزمون برابر است با:
<V> = [ ∫_{-∞}^{+∞} exp(-α x²) (1/2 m ω² x²) exp(-α x²) dx ] / <ψ|ψ>
<V> = m ω² / (8α)
گام 3: محاسبه مقدار چشمداشتی انرژی جنبشی
با مشتقگیری از تابع آزمون و جایگذاری در فرمول انرژی جنبشی:
<T> = [ ∫_{-∞}^{+∞} ψ* (-(ħ²/2m) d²/dx²) ψ dx ] / <ψ|ψ>
<T> = ħ² α / (2m)
گام 4: تشکیل تابع انرژی کل E(α)
انرژی کل تابعی از پارامتر α خواهد بود:
E(α) = <T> + <V> = (ħ² α / 2m) + (m ω² / 8α)
گام 5: کمینهسازی (یافتن α بهینه)
از تابع انرژی نسبت به α مشتق میگیریم و برابر صفر قرار میدهیم:
dE/dα = (ħ² / 2m) - (m ω² / 8α²) = 0
8α² ħ² = 2m² ω²
α² = m² ω² / (4ħ²)
α_opt = m ω / (2ħ)
گام 6: محاسبه انرژی نهایی (E_min)
حالا مقدار α_opt را در تابع E(α) جایگذاری میکنیم:
E_min = (ħ² / 2m) * (m ω / 2ħ) + (m ω² / 8) * (2ħ / m ω)
E_min = (1/4) ħω + (1/4) ħω
E_min = (1/2) ħω
تحلیل نتیجه ردگیری
در این مثال خاص، چون تابع آزمون ما (گاوسی) دقیقاً همشکل با تابع موج واقعی نوسانگر هماهنگ بود، انرژی بهدست آمده (1/2 ħω) دقیقاً با جواب واقعی برابر شد.
| Step | Input | Operation | Output |
|---|---|---|---|
| 1 | ψ = exp(-αx²) | ∫|ψ|² dx | N = sqrt(π/2α) |
| 2 | V = 1/2 mω²x² | <V> Calculation | mω² / 8α |
| 3 | T = -ħ²/2m ∇² | <T> Calculation | ħ²α / 2m |
| 4 | T and V | Summation | E(α) |
| 5 | E(α) | dE/dα = 0 | α_opt = mω/2ħ |
| 6 | α_opt | Substitution | E = 1/2 ħω |
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.