ریاضیات

همیلتونی در سیستم‌های چندذره‌ای

در مکانیک کوانتومی، همیلتونی عملگری است که کل انرژی سیستم را توصیف می‌کند.

برای یک سیستم چندذره‌ای، همیلتونی شامل انرژی جنبشی تمام ذرات و انرژی پتانسیل برهم‌کنش میان آن‌ها است.

همیلتونی کلی یک سیستم N ذره‌ای

H = T + V

که در آن:

• T : انرژی جنبشی کل
• V : انرژی پتانسیل کل

بخش مکانی همیلتونی

برای N ذره با جرم‌های mi:

H =

- Σ (ħ²/2mi) ∇i^2

+

V(r1,r2,...,rN)

که در آن:

• ∇i^2 لاپلاسین ذره i است.
• V تابع پتانسیل برهم‌کنش بین ذرات است.
• ri مختصات مکانی ذره i است.

همیلتونی وابسته به زمان

اگر پتانسیل تابع زمان باشد:

H(t)=T+V(r,t)

در این حالت معادله شرودینگر وابسته به زمان به صورت زیر نوشته می‌شود:

iħ ∂Ψ/∂t = H(t)Ψ

مثال ۱: اتم هیدروژن

اتم هیدروژن شامل یک الکترون و یک پروتون است.

H =

- (ħ²/2me)∇²

-

e²/(4πε0r)

جمله اول انرژی جنبشی الکترون و جمله دوم پتانسیل کولنی است.

مثال ۲: اتم هلیوم

در اتم هلیوم دو الکترون وجود دارد.

H =

- (ħ²/2me)(∇1^2+∇2^2)

-

2e²/(4πε0r1)

-

2e²/(4πε0r2)

+

e²/(4πε0r12)

جمله آخر برهم‌کنش دافعه بین دو الکترون را نشان می‌دهد.

مثال ۳: نوسانگر هماهنگ N ذره‌ای

اگر N ذره در یک میدان هارمونیک قرار داشته باشند:

H =

Σ [ pi^2/(2m) ]

+

(1/2)mω² Σ ri^2

این مدل در فیزیک جامدات و ارتعاشات شبکه‌ای کاربرد فراوان دارد.

کاربردهای همیلتونی چندذره‌ای

• محاسبه ساختار الکترونی اتم‌ها
• بررسی مولکول‌ها و پیوندهای شیمیایی
• فیزیک هسته‌ای
• ابررسانایی
• فیزیک ماده چگال
• رایانش کوانتومی
• فیزیک پلاسما
• مدل‌سازی ستارگان و ماده چگال اخترفیزیکی

نکته مهم

هرچه تعداد ذرات بیشتر شود، حل دقیق معادله شرودینگر دشوارتر می‌شود و معمولاً از روش‌های تقریبی مانند هارتری-فاک، نظریه تابعی چگالی (DFT)، روش وردشی و مونت‌کارلو استفاده می‌شود.

در سیستم‌های چندذره‌ای، مهم‌ترین بخش همیلتونی معمولاً جمله برهم‌کنش بین ذرات است؛ زیرا همین جمله باعث پدیده‌هایی مانند ساختار اتمی، پیوند شیمیایی، ابررسانایی و خواص ماده چگال می‌شود.