ریاضیات

چند مثال برای فرمول‌نامهٔ نسبیت خاص

مثال ۱) اتساع زمان

سفینه‌ای با سرعت v = 0.8c حرکت می‌کند. در چارچوب زمین، مدت سفر
Δt = 10 s
است. زمان ویژهٔ سفینه را پیدا کنید.

γ = 1 / sqrt(1 - 0.8²)
= 1 / sqrt(0.36)
= 1.667

پس:

Δτ = Δt / γ = 10 / 1.667 ≈ 6 s

نتیجه:

زمانی که سرنشین سفینه احساس می‌کند، حدود 6 s است.

مثال ۲) انقباض طول

میله‌ای در چارچوب خودش طول
L0 = 5 m
دارد. اگر با سرعت
v = 0.6c
از کنار ناظر عبور کند، طول دیده‌شده چقدر است؟

γ = 1 / sqrt(1 - 0.6²)
= 1 / sqrt(0.64)
= 1.25

پس:

L = L0 / γ = 5 / 1.25 = 4 m

نتیجه:

ناظر طول میله را 4 m می‌بیند.

مثال ۳) نسبیت هم‌زمانی

دو رویداد در چارچوب
S
هم‌زمان‌اند:

Δt = 0

و فاصلهٔ مکانی آن‌ها:

Δx = 300 m

چارچوب
S'
با سرعت
v = 0.6c
حرکت می‌کند. اختلاف زمان در
S'
را بیابید.

γ = 1.25

فرمول:

Δt' = -γ(vΔx/c²)

جایگذاری:

Δt' = -1.25 × (0.6c × 300 / c²)
= -1.25 × (180 / c)

با
c = 3×10^8 m/s:

Δt' = -1.25 × (180 / 3×10^8)
= -7.5×10^-7 s
= -0.75 μs

نتیجه:

در چارچوب
S'
این دو رویداد هم‌زمان نیستند.

مثال ۴) جمع سرعت‌ها

در چارچوب
S
ذره‌ای با سرعت
u = 0.9c
حرکت می‌کند. چارچوب
S'
با سرعت
v = 0.6c
در همان راستا حرکت می‌کند. سرعت ذره در
S'
چقدر است؟

u' = (u - v)/(1 - uv/c²)

جایگذاری:

u' = (0.9c - 0.6c)/(1 - 0.9×0.6)
= 0.3c / 0.46
≈ 0.652c

نتیجه:

سرعت جدید حدود 0.652c است.

مثال ۵) چهارتکانه

ذره‌ای با جرم سکون
m = 2 kg
و سرعت
v = 0.6c
حرکت می‌کند. انرژی و تکانهٔ نسبیتی آن را حساب کنید.

ابتدا:

γ = 1.25

انرژی:

E = γmc²
= 1.25 × 2 × (3×10^8)²
= 2.25×10^17 J

تکانه:

p = γmv
= 1.25 × 2 × 0.6 × 3×10^8
= 4.5×10^8 kg·m/s

پس چهارتکانه:

P^μ = (E/c , p, 0, 0)
= (7.5×10^8 , 4.5×10^8 , 0 , 0)

مثال ۶) ناوردایی انرژی-تکانه

برای همان ذرهٔ مثال قبل، بررسی کنید که:

(E/c)² - p² = m²c²

داریم:

(E/c)² = (7.5×10^8)² = 5.625×10^17
p² = (4.5×10^8)² = 2.025×10^17

پس:

(E/c)² - p² = 5.625×10^17 - 2.025×10^17
= 3.6×10^17

و:

m²c² = 2² × (3×10^8)² = 4 × 9×10^16 = 3.6×10^17

نتیجه:

رابطهٔ ناوردای انرژی-تکانه درست است.

جمع‌بندی

این مثال‌ها تقریباً مهم‌ترین بخش‌های فرمول‌نامه را پوشش می‌دهند:


- اتساع زمان

- انقباض طول

- نسبیت هم‌زمانی

- جمع سرعت‌ها

- انرژی و تکانهٔ نسبیتی

- ناوردایی چهارتکانه

اگر بخواهی، در پیام بعدی می‌توانم همین‌ها را به صورت «مثال‌های تستی کوتاه با جواب نهایی» هم برای وبلاگ آماده کنم.