ریاضیات

مثال: موج صوتی از منبع نقطه‌ای (مختصات کروی)

فرض کنید یک منبع صوتی کوچک در هوا یا آب قرار دارد که صدا را در همه جهات پخش می‌کند. این حالت در مختصات کروی (r, θ, φ) تحلیل می‌شود، زیرا موج دارای تقارن کروی است.

۱. معادلهٔ موج در مختصات کروی

(1/r²) ∂/∂r (r² ∂p/∂r) + (1/(r² sinθ)) ∂/∂θ (sinθ ∂p/∂θ) + (1/(r² sin²θ)) ∂²p/∂φ² = (1/c²) ∂²p/∂t²

اگر موج فقط به فاصله r وابسته باشد (تقارن کروی کامل)، وابستگی به θ و φ حذف می‌شود:

(1/r²) ∂/∂r (r² ∂p/∂r) = (1/c²) ∂²p/∂t²

۲. حل موج کروی

راه‌حل ساده برای موجی که از مرکز در همه جهت‌ها پخش می‌شود:

p(r, t) = (A / r) × sin(kr - ωt)

• A : دامنه موج در فاصله ۱ متری از مرکز
• k = 2π/λ : عدد موج
• ω = 2πf : فرکانس زاویه‌ای
• r : فاصله از منبع

۳. ویژگی‌های فیزیکی

• شدت موج با 1/r² کاهش می‌یابد، چون انرژی در سطح کروی پخش می‌شود.
• موج در همه جهت‌ها یکسان (ایزوتروپیک) است.
• موج بازتابی از موانع کروی می‌تواند با موج اصلی تداخل کند و الگوهای پیچیده بسازد.
• این مدل در تحلیل صدای انفجارها، امواج زیرآبی، و منابع نقطه‌ای صدا کاربرد دارد.

۴. خلاصهٔ ریاضی

p(r, t) = (A / r) sin(kr - ωt) و I ∝ 1/r²

این مثال نشان می‌دهد چگونه انتشار موج صوتی از یک منبع نقطه‌ای در فضا تحلیل و پیش‌بینی می‌شود.