5--تبدیل‌های لورنتس

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه نهم دی ۱۴۰۳ | 8:10

تبدیل مقادیر دیگر

[ ویرایش ]

به طور کلی، با توجه به چهار کمیت A و Z = ( Z x ، Z y ، Z z ) و همتایان تقویت شده با لورنتس آنها

A " و Z " = ( Z " x ، Z " y ، Z " z ) ،

یک رابطه از فرم

$A^{2}-\mathbf {Z} \cdot \mathbf {Z} ={A'}^{2}-\mathbf {Z} '\cdot \mathbf {Z} '$

دلالت بر تبدیل کمیت ها تحت تبدیل های لورنتس مشابه تبدیل مختصات فضازمان دارد.

${\begin{aligned}A'&=\gamma \left(A-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {Z} }{c}}\right)\,,\\ \mathbf {Z} '&=\mathbf {Z} +(\گاما -1)(\mathbf {Z} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -{\frac {\gamma Av\mathbf {n} }{c}}\,.\end{تراز شده}}$

تجزیه Z (و Z ' ) به اجزای عمود بر و موازی v دقیقاً مانند بردار موقعیت است، همانطور که فرآیند به دست آوردن تبدیل های معکوس (تبادل ( A , Z ) و ( A ', Z ') است. برای تغییر کمیت های مشاهده شده، و معکوس کردن جهت حرکت نسبی با جایگزینی

n ↦ − n ).

کمیت های ( A ، Z ) در مجموع یک چهار بردار را تشکیل می دهند که در آن A "مولفه زمان مانند" و Z "مولفه فضا مانند" است. نمونه های A و Z به شرح زیر است:

چهار برداری	الف	ز
موقعیت چهار برداری	زمان (ضرب در c )، ct	بردار موقعیت ، r
چهار تکانه	انرژی (تقسیم بر c )، E / c	حرکت ، P
بردار چهار موجی	فرکانس زاویه ای (تقسیم بر c )، ω / c	بردار موج ، k
چهار چرخش	(بدون نام)، s t	اسپین ، s
چهار جریانی	چگالی بار (ضرب در c )، ρc	چگالی جریان ، j
چهار پتانسیل الکترومغناطیسی	پتانسیل الکتریکی (تقسیم بر c )، φ / c	پتانسیل بردار مغناطیسی ، A

برای یک جسم معین (به عنوان مثال، ذره، سیال، میدان، ماده)، اگر A یا Z با ویژگی های خاص جسم مانند چگالی بار ، چگالی جرم ، اسپین و غیره مطابقت داشته باشد، ویژگی های آن را می توان در قاب بقیه ثابت کرد. آن شی سپس تبدیل‌های لورنتس ویژگی‌های مربوطه را در یک قاب در حال حرکت نسبت به جسم با سرعت ثابت می‌دهند. این امر برخی از مفاهیمی را که در فیزیک غیر نسبیتی بدیهی تلقی می‌شوند، می‌شکند. به عنوان مثال، انرژی E یک جسم در مکانیک غیر نسبیتی یک عدد اسکالر است، اما در مکانیک نسبیتی چنین نیست زیرا انرژی تحت تبدیل‌های لورنتس تغییر می‌کند. مقدار آن برای قاب های اینرسی مختلف متفاوت است. در قاب استراحت یک جسم، انرژی سکون و تکانه صفر دارد. در یک فریم تقویت‌شده انرژی آن متفاوت است و به نظر می‌رسد که تکانه دارد. به طور مشابه، در مکانیک کوانتومی غیرنسبیتی اسپین یک ذره یک بردار ثابت است، اما در مکانیک کوانتومی نسبیتی اسپین s به حرکت نسبی بستگی دارد. در قاب باقیمانده ذره، بردار کاذب اسپین را می توان به عنوان اسپین غیر نسبیتی معمولی آن با کمیت زمان مانند s t ثابت کرد ، با این حال یک ناظر تقویت شده یک جزء زمانی غیرصفر و یک اسپین تغییر یافته را درک می کند. [ 21 ]

همه کمیت‌ها در شکلی که در بالا نشان داده شده است ثابت نیستند، برای مثال تکانه زاویه‌ای مداری L یک کمیت مشابه زمانی ندارد، و نه میدان الکتریکی E و نه میدان مغناطیسی B. تعریف تکانه زاویه ای L = r × p است و در یک قاب تقویت شده، تکانه زاویه ای تغییر یافته L ' = r ' × p ' است . اعمال این تعریف با استفاده از تبدیل مختصات و تکانه منجر به تبدیل تکانه زاویه ای می شود. به نظر می رسد L با کمیت برداری دیگری N = ( E / c 2 ) r - t p مربوط به تقویت ها تبدیل می شود، برای جزئیات به تکانه زاویه ای نسبیتی مراجعه کنید. در مورد فیلدهای E و B ، تبدیل ها را نمی توان مستقیماً با استفاده از جبر برداری به دست آورد. نیروی لورنتس تعریف این میدان ها است، و در F F = q ( E + v × B ) است در حالی که در F ' F ' = q ( E ' + v ' × B ') است . روشی برای استخراج تبدیل‌های میدان EM به روشی کارآمد که واحد میدان الکترومغناطیسی را نیز نشان می‌دهد از جبر تانسوری استفاده می‌کند که در زیر آورده شده است .

فرمول بندی ریاضی

[ ویرایش ]

نوشتار اصلی: گروه لورنتس

اطلاعات بیشتر: ماتریس (ریاضیات) ، حاصلضرب ماتریس ، جبر خطی و فرمالیسم های چرخشی در سه بعدی

در سرتاسر، حروف بزرگ غیر درشت مورب ماتریس های 4×4 هستند، در حالی که حروف پررنگ غیر ایتالیک ماتریس های 3×3 هستند.

گروه لورنتس همگن

[ ویرایش ]

نوشتن مختصات در بردارهای ستونی و متریک Minkowski η به عنوان یک ماتریس مربع

$X'={\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}\,,\quad \eta ={\begin{bmatrix}- 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,,\quad X={\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}$

بازه فضازمان شکل می گیرد (بالا T نشان دهنده جابجایی است )

$X\cdot X=X^{\mathrm {T} }\eta X={X'}^{\mathrm {T} }\eta {X'}$ و تحت یک تبدیل لورنتس ثابت است

$X'=\Lambda X$ جایی که Λ یک ماتریس مربع است که می تواند به پارامترها بستگی داشته باشد.

مجموعه تمام تحولات لورنتس $\Lambda$ در این مقاله مشخص شده است ${\mathcal {L}}$ . این مجموعه همراه با ضرب ماتریس یک گروه را تشکیل می دهد که در این زمینه به عنوان گروه لورنتس شناخته می شود . همچنین، عبارت فوق X · X یک شکل درجه دوم امضا (3،1) در فضازمان است، و گروهی از تبدیل‌ها که این شکل درجه دوم را ثابت می‌گذارد، گروه متعامد نامعین O(3،1)، یک گروه Lie است . به عبارت دیگر، گروه لورنتس O(3،1) است. همانطور که در این مقاله ارائه شد، هر گروه Lie ذکر شده، گروه Lie ماتریسی است . در این زمینه عملیات ترکیب برابر با ضرب ماتریس است .

از تغییر ناپذیری بازه فضا-زمان نتیجه می گیرد $\eta =\Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \Lambda$ و این معادله ماتریسی شامل شرایط کلی در تبدیل لورنتس برای اطمینان از عدم تغییر بازه فضازمان است. در نظر گرفتن تعیین کننده معادله با استفاده از قاعده حاصلضرب [ nb 4 ] بلافاصله به دست می آید $\left[\det(\Lambda )\right]^{2}=1\quad \Rightarrow \quad \det(\Lambda )=\pm 1$

نوشتن متریک مینکوفسکی به عنوان یک ماتریس بلوکی، و تبدیل لورنتز به کلی ترین شکل، $\eta ={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}\,,\quad \Lambda ={\begin{bmatrix}\Gamma &-\mathbf {a } ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}\,,$ انجام ضرب‌های ماتریس بلوکی شرایط کلی را در Γ, a , b , M به دست می‌آورد تا از عدم تغییر نسبیتی اطمینان حاصل شود. اطلاعات زیادی را نمی توان مستقیماً از همه شرایط استخراج کرد، اما یکی از نتایج است $\Gamma ^{2}=1+\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b}$ مفید است؛ b T b ≥ 0 همیشه بنابراین نتیجه می شود که $\Gamma ^{2}\geq 1\quad \Rightarrow \quad \Gamma \leq -1\,,\quad \Gamma \geq 1$

نابرابری منفی ممکن است غیرمنتظره باشد، زیرا Γ مختصات زمانی را ضرب می کند و این بر تقارن زمانی تأثیر می گذارد . اگر تساوی مثبت برقرار باشد، Γ عامل لورنتس است.

تعیین کننده و نابرابری چهار راه برای طبقه بندی تغییر شکل های L orentz T ارائه می دهند ( در اینجا LTs برای اختصار ). هر LT خاص فقط یک علامت تعیین کننده و فقط یک نابرابری دارد. چهار مجموعه وجود دارد که شامل هر جفت ممکنی است که توسط تقاطع ها (نماد به شکل "n" به معنای "و") این مجموعه های طبقه بندی شده است.

تقاطع، ∩	LT های آنتی کرون (یا غیر متعامد). ${\mathcal {L}}^{\downarrow }=\{\Lambda \,:\,\Gamma \leq -1\}$	LTهای متعامد ${\mathcal {L}}^{\uparrow }=\{\Lambda \,:\,\Gamma \geq 1\}$
LT های مناسب ${\mathcal {L}}_{+}=\{\Lambda \,:\,\det(\Lambda )=+1\}$	LT های آنتی کرون مناسب ${\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }={\mathcal {L}}_{+}\cap {\mathcal {L}}^{\downarrow }$	LT های متعامد مناسب ${\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }={\mathcal {L}}_{+}\cap {\mathcal {L}}^{\uparrow }$
LT های نامناسب ${\mathcal {L}}_{-}=\{\Lambda \,:\,\det(\Lambda )=-1\}$	LT های آنتی کرونی نامناسب ${\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }={\mathcal {L}}_{-}\cap {\mathcal {L}}^{\downarrow }$	LTهای متعامد نامناسب ${\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }={\mathcal {L}}_{-}\cap {\mathcal {L}}^{\uparrow }$

که در آن "+" و "−" نشان دهنده علامت تعیین کننده است، در حالی که "↑" برای ≥ و "↓" برای ≤ نشان دهنده نابرابری ها است.

گروه کامل لورنتس به اتحاد (نماد "u" شکل به معنی "یا") از چهار مجموعه جدا می شود ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }$

یک زیر گروه از یک گروه باید تحت همان عملیات گروه (در اینجا ضرب ماتریس) بسته شود. به عبارت دیگر، برای دو تبدیل لورنتس Λ و L از یک زیرگروه خاص، تبدیل‌های لورنتس ترکیبی Λ L و L Λ باید در همان زیرگروه Λ و L باشند . همیشه اینطور نیست: ترکیب دو تبدیل لورنتز پادکرون متعامد است و ترکیب دو تبدیل نادرست لورنتس مناسب است. به عبارت دیگر در حالی که مجموعه ها ${\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }$ ، ${\mathcal {L}}_{+}$ ، ${\mathcal {L}}^{\uparrow }$ ، و ${\mathcal {L}}_{0}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }$ همه زیر گروه‌ها را تشکیل می‌دهند، مجموعه‌هایی حاوی تبدیل‌های نامناسب و/یا ضد زمان بدون تبدیل‌های متعامد مناسب کافی (مثلاً ${\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }$ ، ${\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }$ ،- ${\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }$ ) زیر گروه تشکیل نمی دهند.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی