2-ماتریس های گاما

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه هجدهم خرداد ۱۴۰۳ | 21:51

بیان معادله دیراک [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله دیراک

در واحدهای طبیعی ، معادله دیراک ممکن است به صورت نوشته شود

$\ \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi =0\$

جایی که $\ \psi \$ یک اسپینور دیراک است.

با تغییر به نماد فاینمن ، معادله دیراک است

$\ (i{\partial \!\!\!/}-m)\psi =0~.$

پنجمین ماتریس "گاما"، γ 5 [ ویرایش ]

مفید است که حاصل ضرب چهار ماتریس گاما را به صورت تعریف کنیم $\gamma ^{5}=\sigma _{1}\otimes I$ ، به طوری که

$\\gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\ 1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\qquad$ (در اساس دیراک).

با اينكه $\\gamma ^{5}\$ از حرف گاما استفاده می کند، این یکی از ماتریس های گاما نیست $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R})~.$ شاخص شماره 5 یادگاری از نمادهای قدیمی است: $\\gamma ^{0}\$ قبلاً به نام 4 $\gamma ^{4}$ ".

$\\gamma ^{5}\$ یک شکل جایگزین نیز دارد:

$\ \gamma ^{5}={\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\ گاما _{\ آلفا }\گاما _{\بتا }\$

با استفاده از کنوانسیون $\varepsilon _{0123}=1\ ,$ یا

$\\gamma ^{5}=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu } \گاما _{\ آلفا }\گاما _{\بتا }\$

با استفاده از کنوانسیون $\varepsilon ^{0123}=1~.$ اثبات:

این را می توان با بهره برداری از این واقعیت مشاهده کرد که هر چهار ماتریس گاما ضد رفت و آمد هستند، بنابراین

$\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\gamma ^{[0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^ {3]}={\tfrac {1}{4!}}\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{0123}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^ {\varrho }\gamma ^{\sigma }\ ,$

جایی که $\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }$ از نوع (4،4) دلتای کرونکر تعمیم یافته در 4 بعد، در ضد تقارن کامل است . اگر $\ \varepsilon _{\alpha \dots \beta }\$ نماد Levi-Civita را در ابعاد n نشان می دهد ، می توانیم از همانی استفاده کنیم $\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }=\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon _{\mu \nu \ varrho \sigma }$ . سپس با استفاده از قرارداد دریافت می کنیم $\ \varepsilon ^{0123}=1\ ,$

$\ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{0123}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }={\ tfrac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\ sigma }=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\varrho }\گاما _{\سیگما }$

این ماتریس در بحث در مورد کایرالیته مکانیک کوانتومی مفید است . به عنوان مثال، یک فیلد دیراک را می توان بر روی اجزای چپ و راست آن به وسیله:

$\\psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ I-\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ,\qquad \psi _{\mathrm {R} } ={\frac {\ I+\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ~.$

برخی از خواص عبارتند از:

هرمیتی است:
$\left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}~.$
مقادیر ویژه آن 1± است، زیرا:
$\left(\gamma ^{5}\right)^{2}=I_{4}~.$
با چهار ماتریس گاما مقابله می کند:
$\left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^ {5}=0~.$

در حقیقت، $\\psi _{\mathrm {L} }\$ و $\\psi _{\mathrm {R} }\$ بردارهای ویژه هستند $\\gamma ^{5}\$ از آنجا که

$\gamma ^{5}\psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ \gamma ^{5}-\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ } {2}}\psi =-\psi _{\mathrm {L} }\ ,$ و $\gamma ^{5}\psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ \gamma ^{5}+\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ } {2}}\psi =\psi _{\mathrm {R} }~.$

پنج بعد [ ویرایش ]

جبر کلیفورد در ابعاد فرد مانند دو نسخه از جبر کلیفورد با یک بعد کمتر، یک کپی سمت چپ و یک کپی سمت راست رفتار می کند. [3] : 68 بنابراین، می‌توان با کمی ترفند، i  γ  5 را به عنوان یکی از مولدهای جبر کلیفورد در پنج بعد تغییر داد. در این مورد، مجموعه { γ  0 , γ  1 , γ  2 , γ  3 , i γ  5 } بنابراین با دو ویژگی آخر (با در نظر داشتن i  2 ≡ −1 ) و گامای «قدیمی»، اساس جبر کلیفورد را در 5 بعد فضازمان برای امضای متریک تشکیل می دهد (1،4) . [آ] . [4] : 97 در امضای متریک (4,1) از مجموعه { γ  0 , γ  1 , γ  2 , γ  3 , γ  5 } استفاده می شود که γ μ  مناسب برای (3،1) هستند. امضا [5] این الگو برای بعد فضازمان 2 n زوج و بعد فرد بعدی 2 n + 1 برای همه n ≥ 1 تکرار می شود . [6] : 457 برای جزئیات بیشتر، به ماتریس های گاما با ابعاد بالاتر مراجعه کنید .

همانی [ ویرایش ]

همانی‌های زیر از رابطه ضد جابجایی اساسی ناشی می‌شوند، بنابراین در هر مبنایی وجود دارند (اگرچه مورد آخر به انتخاب علامت برای $\gamma ^{5}$ ).

همانی های متفرقه [ ویرایش ]

$\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I_{4}$

نشان می دهداثبات

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }$

نشان می دهداثبات

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}$

نشان می دهداثبات

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\گاما ^{\nu }$

نشان می دهداثبات

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^ {5}$

نشان می دهداثبات

$\gamma ^{5}\sigma ^{\nu \rho }={\tfrac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\sigma _{\sigma \mu }\ ,$ جایی که $\ \sigma _{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]={\tfrac {i}{2 }}(\گاما _{\mu }\گاما _{\nu }-\گاما _{\nu }\گاما _{\mu })\$

نشان می دهداثبات

ردیابی همانی [ ویرایش ]

ماتریس های گاما از همانی های ردیابی زیر تبعیت می کنند :

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\right)=0$
ردیابی هر حاصل ضرب عدد فرد $\gamma ^{\mu }$ صفر است
اثری از $\gamma ^{5}$ برابر حاصل ضرب عدد فرد $\gamma ^{\mu }$ هنوز صفر است
$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=4\eta ^{\mu \nu }$
$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=4\left(\eta ^ {\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\راست)$
$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\ راست)=0$
$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)=- 4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$
$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{n}}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^ {\mu _{n}}\dots \gamma ^{\mu _{1}}\right)$

اثبات موارد فوق مستلزم استفاده از سه ویژگی اصلی عملگر ردیابی است :

tr( A + B ) = tr( A ) + tr( B )
tr( rA ) = r tr( A )
tr( ABC ) = tr( CAB ) = tr( BCA )

نشان می دهداثبات 1

نشان می دهداثبات 2

نشان می دهداثبات 3

نشان می دهداثبات 4

نشان می دهداثبات 5

نشان می دهداثبات 6

نشان می دهداثبات 7

نشان می دهداثبات 8

عادی سازی [ ویرایش ]

با این حال، ماتریس‌های گاما را می‌توان با شرایط هرمیتیتی اضافی که توسط روابط ضد جابجایی بالا محدود می‌شود، انتخاب کرد. می توانیم تحمیل کنیم

$\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}$ ، سازگار با $\left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I_{4}$

و برای سایر ماتریس های گاما (برای k = 1، 2، 3 )

$\left(\gamma ^{k}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{k}$ ، سازگار با $\left(\gamma ^{k}\right)^{2}=-I_{4}.$

شخص فوراً بررسی می کند که آیا این روابط خلوت برای نمایندگی دیراک وجود دارد یا خیر.

شرایط فوق را می توان در رابطه ترکیب کرد

$\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}.$

شرایط هرمیتیتی تحت عمل ثابت نیست $\gamma ^{\mu }\to S(\Lambda )\gamma ^{\mu }{S(\Lambda )}^{-1}$ تحول لورنتسΛ $\Lambda$ زیرا $S(\Lambda )$ به دلیل فشرده نبودن گروه لورنتس، لزوماً یک تحول واحد نیست. [ نیازمند منبع ]

صرف شارژ [ ویرایش ]

عملگر تلفیق بار ، در هر مبنایی، ممکن است به این صورت تعریف شود

$C\gamma _{\mu }C^{-1}=-(\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}$

جایی که $(\cdot )^{\textsf {T}}$ نشان دهنده جابجایی ماتریس است . شکل صریح که $C$ طول می کشد بستگی به نمایش خاص انتخاب شده برای ماتریس های گاما، تا یک فاکتور فاز دلخواه دارد. این به این دلیل است که اگرچه صرف بار یک خودمورفیسم گروه گاما است ، اما یک اتومورفیسم درونی (گروه) نیست . ماتریس های مزدوج را می توان یافت، اما آنها وابسته به نمایش هستند.

همانی های مستقل از نمایندگی عبارتند از:

${\begin{aligned}C\gamma _{5}C^{-1}&=+(\gamma _{5})^{\textsf {T}}\\C\sigma _{\mu \nu }C^{-1}&=-(\sigma _{\mu \nu })^{\textsf {T}}\\C\gamma _{5}\gamma _{\mu }C^{ -1}&=+(\گاما _{5}\گاما _{\mu })^{\textsf {T}}\\\end{تراز شده}}$

عملگر صرف شارژ نیز واحد است $C^{-1}=C^{\dagger }$ ، در حالی که برای $\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )$ آن را نیز نگه می دارد که $C^{T}=-C$ برای هر نمایندگی با توجه به نمایشی از ماتریس های گاما، ضریب فاز دلخواه برای عملگر صرف بار نیز می تواند به گونه ای انتخاب شود که $C^{\dagger }=-C$ ، همانطور که در مورد چهار نمایش داده شده در زیر (Dirac، Majorana و هر دو نوع کایرال) وجود دارد.

نماد اسلش فاینمن [ ویرایش ]

نماد اسلش فاینمن با تعریف می شود

${a\!\!\!/}:=\gamma ^{\mu }a_{\mu }$

برای هر 4 بردارآ $a$ .

در اینجا برخی از همانی های مشابه با موارد بالا، اما شامل نمادهای اسلش آمده است:

${a\!\!\!/}{b\!\!\!/}=\left[a\cdot b-ia_{\mu }\sigma ^{\mu \nu }b_{\nu }\right]I_{4}$
${a\!\!\!/}{a\!\!\!/}=\left[a^{\mu }a^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{ \nu }\right]I_{4}=\left[{\tfrac {1}{2}}a^{\mu }a^{\nu }\left(\gamma _{\mu }\gamma _{ \nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }\right)\right]I_{4}=\left[\eta _{\mu \nu }a^{\mu }a^{ \nu }\right]I_{4}=a^{2}I_{4}$
$\operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=4(a\cdot b)$
$\operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/ }\right)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]$
$\operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=0$
$\operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\ !\!\!/}\right)=-4i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\rho }d^{\sigma }$
$\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{a\!\!\!/}$ [7]
$\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=4(a\cdot b)I_{4}$ [7]
$\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2 {c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}$ [7]
جایی که $\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }$ نماد Levi-Civita است و $\sigma ^{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]~.$ در واقع آثاری از ضرب با تعداد فرد $\ \گاما \$ صفر است و بنابراین
$\operatorname {tr} (a_{1}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,a_{2}\!\!\!\!\!\!\!\!/\ ,\,\,\cdots a_{n}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,)=0\$ برای n . [8]

بسیاری از آنها مستقیماً از گسترش نمادهای اسلش و عبارات انقباضی فرم پیروی می کنند $\ a_{\mu }b_{\nu }c_{\rho }\ \ldots \$ با همانی مناسب از نظر ماتریس گاما.

نمایش های دیگر [ ویرایش ]

ماتریس ها نیز گاهی با استفاده از ماتریس همانی 2×2 نوشته می شوند . $I_{2}$ ، و

$\gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}}$

که در آن k از 1 تا 3 اجرا می شود و σ k ماتریس های پائولی هستند .

پایه دیراک [ ویرایش ]

ماتریس های گامایی که تاکنون نوشته ایم برای عمل بر روی اسپینرهای دیراک که بر اساس دیراک نوشته شده اند مناسب هستند . در واقع اساس دیراک با این ماتریس ها تعریف می شود. به طور خلاصه، بر اساس دیراک:

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix }0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2} &0\end{pmatrix}}~.$

در مبنای دیراک، عملگر صرف بار ضد متقارن واقعی است، [9] : 691-700

$C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix} }={\begin{pmatrix}0&~~0&~~0&-1\\0&~~0&~~1&~~0\\0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~ ~0\end{pmatrix}}~.$

پایه ویل (کایرال) [ ویرایش ]

یکی دیگر از انتخاب های رایج پایه Weyl یا کایرال است که در آن $\gamma ^{k}$ ثابت می ماند اما $\gamma ^{0}$ متفاوت است و غیره $\gamma ^{5}$ همچنین متفاوت است، و مورب،

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0& \sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2} \end{pmatrix}}،$

یا به صورت فشرده تر:

$\gamma ^{\mu }={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\overline {\sigma }}^{\mu }&0\end{pmatrix}}،\quad \sigma ^{\mu }\equiv (1,\sigma ^{i}),\quad {\overline {\sigma }}^{\mu }\equiv \left(1,-\sigma ^{i}\ درست).$

اساس ویل این مزیت را دارد که پیش‌بینی‌های کایرال آن شکل ساده‌ای دارند.

$\psi _{\mathrm {L} }={\tfrac {1}{2}}\left(1-\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}I_{2 }&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {R} }={\tfrac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{5}\راست )\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi ~.$

ناتوانی برآمدگی های کایرال آشکار است .

با کمی سوء استفاده از نماد و استفاده مجدد از نمادها $\psi _{\mathrm {L} /R}$ سپس می توانیم شناسایی کنیم

$\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {L} }\\\psi _{\mathrm {R} }\end{pmatrix}}،$

حالا که $\psi _{\mathrm {L} }$ و $\psi _{\mathrm {R} }$ اسپینورهای ویل دو جزئی چپ دست و راست دست هستند.

عملگر صرف بار در این مبنا ضد متقارن واقعی است،

$C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}&0\\0&-i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}$

مبنای دیراک را می توان از مبنای Weyl به دست آورد

$\gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },\quad \psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }$

از طریق تبدیل واحد

$U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1+\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1} {{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&-I_{2}\\I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}.$

پایه ویل (کایرال) (شکل جایگزین) [ ویرایش ]

یکی دیگر از گزینه های ممکن [10] از مبنای Weyl است

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{ pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&- I_{2}\end{pmatrix}}.$

برجستگی های کایرال شکل کمی متفاوت از دیگر انتخاب های ویل دارند.

$\psi _{\mathrm {R} }={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {L} }= {\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .$

به عبارت دیگر،

$\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {R} }\\\psi _{\mathrm {L} }\end{pmatrix}}،$

جایی که $\psi _{\mathrm {L} }$ و $\psi _{\mathrm {R} }$ مانند قبل، اسپینورهای دو جزئی ویل چپ دست و راست هستند.

عملگر صرف بار در این اساس است

$C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}= {\begin{pmatrix}0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\\0&~~0&~~0&~~~1\\0&~~0&-1&~~0 \\\end{pmatrix}}~=-i\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{2}.$

این مبنا را می توان از مبنای دیراک بالا به دست آورد $\gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }$ از طریق تبدیل واحد

$U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1-\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1} {{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}~~I_{2}&I_{2}\\-I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}~.$

اساس مایورانا [ ویرایش ]

همچنین مبنای مایورانا وجود دارد که در آن همه ماتریس های دیراک خیالی هستند و اسپینورها و معادله دیراک واقعی هستند. با توجه به ماتریس های پائولی ، مبنای را می توان به صورت زیر نوشت

${\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,~&\ گاما ^{1}&={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{2}&={\ begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{ 1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{5}&={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\ سیگما ^{2}\end{pmatrix}}\ ,~&C&={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ , \end{تراز شده}}$

جایی که $C$ ماتریس صرف شارژ است که با نسخه دیراک تعریف شده در بالا مطابقت دارد.

دلیل خیالی ساختن همه ماتریس های گاما صرفاً به دست آوردن متریک فیزیک ذرات (+، -، -، -) است که در آن مجذور جرم ها مثبت است. با این حال، نمایش مایوراناواقعی است. می توان فاکتور گرفت من $\ i\$ برای به دست آوردن یک نمایش متفاوت با اسپینورهای واقعی چهار جزء و ماتریس های گامای واقعی. پیامد حذف من $\ i\$ این است که تنها متریک ممکن با ماتریس های گامای واقعی (-، +، +، +) است .

اساس مایورانا را می توان از پایه دیراک بالا به دست آورد $\gamma _{\mathrm {M} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {M} }=U\psi _{\mathrm {D} }$ از طریق تبدیل واحد

$U=U^{\dagger }={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma ^{2}\\\ سیگما ^{2}&-I_{2}\end{pmatrix}}~.$

Cl 1,3 (C) و Cl 1,3 (R) [ ویرایش ]

این مقاله ممکن است از کوتاه شدن با استفاده از سبک خلاصه سود ببرد . سبک خلاصه ممکن است شامل تقسیم بخش هایی از متن به یک یا چند مقاله فرعی باشد که سپس در مقاله اصلی خلاصه می شود.

جبر دیراک را می توان پیچیدگی جبر واقعی Cl 1,3 در نظر گرفت (آر $\mathbb {R}$ جبر فضا-زمان نامیده می شود :

$\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R})\otimes \mathbb {C}$

Cl 1,3 (آر $\mathbb {R}$ ) با Cl 1,3 متفاوت است (سی $\mathbb {C}$ ): در Cl 1,3 (آر $\mathbb {R}$ ) فقط ترکیب های خطی واقعی ماتریس های گاما و ضرب آنها مجاز است.

دو نکته شایسته اشاره است. به عنوان جبرهای کلیفورد , Cl 1,3 (سی $\mathbb {C}$ ) و Cl 4 (سی $\mathbb {C}$ ) هم شکل هستند، طبقه بندی جبرهای کلیفورد را ببینید . دلیل آن این است که امضای زیربنایی متریک فضا-زمان با عبور از پیچیدگی، امضای خود را از دست می دهد (1،3). با این حال، تبدیل مورد نیاز برای رساندن فرم دوخطی به شکل متعارف پیچیده، تبدیل لورنتس نیست و بنابراین «مجاز» نیست (حداقل غیرعملی) زیرا تمام فیزیک کاملاً به تقارن لورنتس گره خورده است و ترجیح داده می‌شود که آن را حفظ کنیم. آشکار

طرفداران جبر هندسی تلاش می کنند تا هر جا که ممکن است با جبرهای واقعی کار کنند. آنها استدلال می کنند که تشخیص حضور یک واحد خیالی در یک معادله فیزیکی به طور کلی ممکن است (و معمولاً روشنگر). چنین واحدهایی از یکی از مقادیر زیاد جبر کلیفورد واقعی به وجود می‌آیند که مجذور آن 1- است، و اینها به دلیل ویژگی‌های جبر و تعامل زیرفضاهای مختلف آن، اهمیت هندسی دارند. برخی از این طرفداران همچنین این سوال را مطرح می‌کنند که آیا معرفی یک واحد خیالی اضافی در چارچوب معادله دیراک ضروری است یا حتی مفید است. [11] : x–xi

در ریاضیات هندسه ریمانی ، تعریف جبر کلیفورد Cl p,q مرسوم است . $\mathbb {R}$ ) برای ابعاد دلخواه p,q . اسپینورهای Weyl تحت عمل گروه اسپین تبدیل می شوند $\mathrm {Spin} (n)$ . پیچیدگی گروه اسپین به نام گروه اسپین $\mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)$ ، یک ضرب است $\mathrm {Spin} (n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}$ از گروه چرخش با دایرها $S^{1}\cong U(1).$ ضرب $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ فقط یک دستگاه نماد برای شناسایی $(a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\times S^{1}$ با. $(-a,-u).$ نکته هندسی این است که اسپینور واقعی را که تحت تبدیل های لورنتس کوواریانس است از $U(1)$ جزء، که می تواند با $\mathrm {U} (1)$ فیبر برهمکنش الکترومغناطیسی را×ز2 $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ درهم تنیدگی برابری و مزدوج بار به شیوه ای مناسب برای ارتباط حالت های ذره/ضد ذره دیراک (به طور معادل، حالات کایرال در اساس ویل ). بیسپینور ، تا آنجا که دارای اجزای چپ و راست مستقل خطی است، می تواند با میدان الکترومغناطیسی تعامل داشته باشد . این برخلاف اسپینور مایورانا و اسپینور ELKO (Eigenspinoren des Ladungskonjugationsoperators) است که نمی توانند ( یعنی از نظر الکتریکی خنثی هستند)، زیرا آنها به صراحت اسپینور را محدود می کنند تا با $S^{1}$ بخشی از پیچیدگی ناشی می شود. اسپینور ELKO یک اسپینر کلاس 5 Lounesto است. [12] : 84

با این حال، در تمرین معاصر در فیزیک، جبر دیراک به جای جبر فضا-زمان، محیط استانداردی است که چرخنده‌های معادله دیراک در آن زندگی می‌کنند.

سایر ویژگی های بدون نمایش [ ویرایش ]

ماتریس های گاما با مقادیر ویژه قطری هستند $\pm 1$ برای $\gamma ^{0}$ ، و مقادیر ویژه $\gamma ^{i}$ .

نشان می دهداثبات

به طور خاص، این نشان می دهد که $\gamma ^{0}$ به طور همزمان هرمیتی و واحد است، در حالی که $\gamma ^{i}$ به طور همزمان ضد هرمیتی و واحد هستند.

علاوه بر این، تعدد هر مقدار ویژه دو است.

نشان می دهداثبات

به طور کلی، اگر $\\gamma ^{\mu }X_{\mu }\$ صفر نیست، نتیجه مشابهی وجود دارد. برای مشخص بودن، ما به حالت هنجار مثبت محدود می‌شویم $\\gamma ^{\mu }p_{\mu }=p\!\!\!/\$ با . $\ p\cdot p=m^{2}>0~.$ مورد منفی نیز به همین ترتیب دنبال می شود.

نشان می دهداثبات

نتیجه می شود که فضای راه حل به $\ p\!\!\!/-m=0\$ (یعنی هسته سمت چپ) دارای بعد 2 است. این به این معنی است که فضای حل برای حل های موج صفحه معادله دیراک دارای بعد 2 است.

این نتیجه هنوز برای معادله دیراک بدون جرم وجود دارد. به عبارت دیگر، اگر $p_{\mu }$ پس پوچپ/ $p\!\!\!/$ باطل دارد 2.

نشان می دهداثبات

ماتریس های دیراک اقلیدسی [ ویرایش ]

در نظریه میدان کوانتومی، ویک می‌تواند محور زمان را برای عبور از فضای مینکوفسکی به فضای اقلیدسی بچرخاند . این به ویژه در برخی از روش های عادی سازی مجدد و همچنین نظریه گیج شبکه مفید است . در فضای اقلیدسی، دو نمایش متداول از ماتریس دیراک وجود دارد:

نمایش کایرال [ ویرایش ]

$\gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{1,2,3}\\-i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix }}،\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}$

توجه داشته باشید که عوامل از $i$ در ماتریس های گامای فضایی درج شده اند تا جبر کلیفورد اقلیدسی

$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\delta ^{\mu \nu }I_{4}$

پدیدار خواهد شد. همچنین شایان ذکر است که انواع مختلفی از این وجود دارد که به جای آن درج می شود $-i$ روی یکی از ماتریس ها، مانند کدهای QCD شبکه ای که از پایه کایرال استفاده می کنند.

در فضای اقلیدسی،

$\gamma _{\mathrm {M} }^{5}=i\left(\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_ {\mathrm {M} }={\tfrac {1}{i^{2}}}\left(\gamma ^{4}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\ راست)_{\mathrm {E} }=\left(\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\gamma ^{4}\right)_{\mathrm {E} }= \گاما _{\mathrm {E} }^{5}~.$

استفاده از ضد کموتاتور و توجه به آن در فضای اقلیدسی $\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{\mu }$ ، یکی نشان می دهد که

$\left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}$

به صورت کایرال در فضای اقلیدسی،

$\gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}$

که نسبت به نسخه مینکوسکی خود تغییری نکرده است.

نمایش غیر نسبیتی [ ویرایش ]

$\gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{1,2,3}\\i\sigma ^{1,2,3}&0\end{ pmatrix}}\ ,\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={ \begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}}$

پاورقی ها [ ویرایش ]

^ مجموعه ماتریس ها (Γ a ) = ( γ μ , i γ  5 )  با a = (0, 1, 2, 3, 4) جبر پنج بعدی کلیفورد {Γ a , Γ b } = 2  η ab را برآورده می کند.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_matrices

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی