عملگر تکانه

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه هجدهم خرداد ۱۴۰۳ | 18:15

عملگر تکانه

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در مکانیک کوانتومی ، عملگر تکانه عملگر مرتبط با تکانه خطی است . عملگر تکانه، در نمایش موقعیت، نمونه ای از عملگر دیفرانسیل است . برای یک ذره در یک بعد فضایی، تعریف به شرح زیر است:

${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$

در آن ثابت کاهش یافته پلانک است ħ که ، i واحد موهومی ، x مختصات مکانی و یک مشتق جزئی است (که با $\partial /\partial x$ ) به جای مشتق کل ( d / dx ) استفاده می شود زیرا تابع موج نیز تابعی از زمان است. "کلاه" یک عملگر را نشان می دهد. "کاربرد" عملگر بر روی یک تابع موج متمایز به شرح زیر :

${\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}$

در فضای هیلبرت متشکل از حالت های ویژه تکانه بیان شده در نمایش تکانه، عمل عملگر به سادگی ضرب در p است ، یعنی یک عملگر ضرب است ، همانطور که عملگر موقعیت یک عملگر ضرب در نمایش موقعیت است. توجه داشته باشید که تعریف فوق تکانه متعارفی است که برای ذرات باردار در میدان الکترومغناطیسی ثابت نیست و یک کمیت فیزیکی قابل اندازه گیری نیست . در این صورت، تکانه متعارف با تکانه جنبشی برابر نیست .

در زمانی که مکانیک کوانتومی در دهه 1920 توسعه یافت، عملگر تکانه توسط بسیاری از فیزیکدانان نظری از جمله نیلز بور ، آرنولد سامرفلد ، اروین شرودینگر و یوجین ویگنر یافت شد . وجود و شکل آن گاهی به عنوان یکی از فرضیه های اساسی مکانیک کوانتومی در نظر گرفته می شود.

منشأ امواج فضای دو بروگل [ ویرایش ]

عملگرهای تکانه و انرژی را می توان به روش زیر ساخت. [1]

یک بعدی [ ویرایش ]

شروع در یک بعد، با استفاده از حل موج مسطح برای معادله شرودینگر از یک ذره آزاد،

$\psi (x,t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)},$

که در آن p به عنوان تکانه در جهت x و E انرژی ذره است. مشتق جزئی مرتبه اول با توجه به فضا است

${\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial x}}={\frac {ip}{\hbar }}e^{{\frac {i}{\hbar }}( px-Et)}={\frac {ip}{\hbar }}\psi .$

این نشان دهنده هم ارزی عملگر است

${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$

بنابراین تکانه ذره و مقداری که وقتی یک ذره در حالت موج مسطح است اندازه گیری می شود مقدار ویژه عملگر فوق است.

از آنجایی که مشتق جزئی یک عملگر خطی است ، عملگر تکانه نیز خطی است، و از آنجا که هر تابع موجی را می توان به عنوان برهم نهی از حالات دیگر بیان کرد، هنگامی که این عملگر تکانه روی کل موج سوار شده عمل می کند، مقادیر ویژه تکانه را برای هر صفحه به دست می دهد. جزء موج سپس این مؤلفه‌های جدید روی هم قرار می‌گیرند و حالت جدید را تشکیل می‌دهند، به طور کلی نه مضربی از تابع موج قدیمی.

سه بعدی [ ویرایش ]

اشتقاق در سه بعد یکسان است، با این تفاوت که عملگر گرادیان del به جای یک مشتق جزئی استفاده می شود. در سه بعد، جواب موج مسطح معادله شرودینگر به صورت زیر است:

$\psi =e^{{\frac {i}{\hbar }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)}$

و گرادیان است

${\begin{aligned}\nabla \psi &=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{ \frac {\partial \psi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\\&={\frac {i}{ \hbar }}\left(p_{x}\mathbf {e} _{x}+p_{y}\mathbf {e} _{y}+p_{z}\mathbf {e} _{z}\راست )\psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \psi \end{تراز شده}}$

که ex ، e y ، و e z بردارهای واحد برای سه بعد فضایی هستند ، بنابراین

$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$

این عملگر تکانه در فضای موقعیت است زیرا مشتقات جزئی با توجه به متغیرهای فضایی گرفته شده است.

تعریف (فضای موقعیت) [ ویرایش ]

همچنین ببینید: موقعیت و فضای حرکت

برای یک ذره بدون بار الکتریکی و بدون اسپین ، عملگر تکانه را می توان بر اساس موقعیت به صورت زیر نوشت: [2]

$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$

که در آن ∇ عملگر گرادیان ، ħ ثابت پلانک کاهش یافته ، و i واحد موهومی است .

در یک بعد فضایی، این می شود [3]

${\hat {p}}={\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\partial \over \partial x}.$

این عبارت برای حرکت متعارف است . برای یک ذره باردار q در یک میدان الکترومغناطیسی ، در طول تبدیل گیج ، تابع موج فضای موقعیت تحت یک تبدیل گروهی محلی U(1) قرار می‌گیرد، [4] و

${\textstyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$

ارزش آن را تغییر خواهد داد. بنابراین، تکانه متعارف ثابت سنج نیست ، و بنابراین یک کمیت فیزیکی قابل اندازه گیری نیست.

تکانه جنبشی ، یک کمیت فیزیکی ثابت سنج، را می توان بر حسب تکانه متعارف، پتانسیل اسکالر φ و پتانسیل برداری A بیان کرد : [5]

$\mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$

عبارت فوق را مینیمال کوپلینگ می نامند . برای ذرات خنثی الکتریکی، تکانه متعارف برابر با تکانه جنبشی است.

خواص [ ویرایش ]

هرمیتسیتی [ ویرایش ]

عملگر تکانه همیشه یک عملگر هرمیتی است (از نظر فنی تر، در اصطلاح ریاضی یک «عملگر خود الحاقی») زمانی که بر روی حالات کوانتومی فیزیکی (به ویژه، قابل نرمال سازی ) عمل می کند. [6]

(در موقعیت‌های مصنوعی خاص، مانند حالت‌های کوانتومی در بازه نیمه نامتناهی [0, ∞) هیچ راهی برای هرمیتی کردن عملگر تکانه وجود ندارد. [7] این ارتباط نزدیک با این واقعیت دارد که یک بازه نیمه نامتناهی نمی تواند تقارن ترجمه ای داشته باشد - به طور خاص تر، عملگرهای ترجمه واحدی ندارد . زیر را ببینید .)

رابطه جابجاگر متعارف [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: رابطه جابجاگر متعارف

با اعمال جابجاگر به یک حالت دلخواه در موقعیت یا تکانه، می توان به راحتی نشان داد که:

$\left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar .$

اصل عدم قطعیت هایزنبرگ محدودیت هایی را در مورد اینکه چگونه تکانه و موقعیت یک سیستم منفرد قابل مشاهده را می توان به طور همزمان شناخت، تعریف می کند. در مکانیک کوانتومی، موقعیت و تکانه متغیرهای مزدوج هستند .

تبدیل فوریه [ ویرایش ]

بحث زیر از نماد برا-کت استفاده می کند . ممکن است یکی بنویسد

$\psi (x)=\langle x|\psi \rangle =\int \!\!dp~\langle x|p\rangle \langle p|\psi \rangle =\int \!\!dp~ {e^{ixp/\hbar }{\tilde {\psi }}(p) \over {\sqrt {2\pi \hbar }}},$

بنابراین تایلد تبدیل فوریه را در تبدیل از فضای مختصات به فضای تکانه نشان می دهد. سپس آن را نگه می دارد

${\hat {p}}=\int \!\!dp~|p\rangle p\langle p|=-i\hbar \int \!\!dx~|x\rangle {\frac {d {dx}}\langle x|~،$

یعنی تکانه ای که در فضای مختصات عمل می کند با فرکانس مکانی مطابقت دارد،

$\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\psi (x).$

یک نتیجه مشابه برای عملگر موقعیت بر اساس تکانه اعمال می شود،

$\langle p|{\hat {x}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\psi (p)،$

منجر به روابط مفید بیشتر،

$\langle p|{\hat {x}}|p'\rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\delta (pp')،$

$\langle x|{\hat {p}}|x'\rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\delta (xx')،$

جایی که δ مخفف تابع دلتای دیراک است .

اشتقاق از ترجمه های بی نهایت کوچک [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: قضیه نوتر و قضیه استون در مورد گروه های واحد یک پارامتری

عملگر ترجمه T ( ε ) نشان داده می شود ، که ε نشان دهنده طول ترجمه است. این تساوی زیر را برآورده می کند:

$T(\varepsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\varepsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle$

که می شود

با فرض اینکه تابع ψ تحلیلی باشد (یعنی قابر مشتق گیری در برخی از حوزه های صفحه مختلط )، می توان در یک سری تیلور حدود x را گسترش داد :

$\psi (x-\varepsilon )=\psi (x)-\varepsilon {\frac {d\psi }{dx}}$

بنابراین برای مقادیر بی نهایت کوچک ε :

$T(\varepsilon )=1-\varepsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\varepsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)$

همانطور که از مکانیک کلاسیک مشخص است ، تکانه مولد ترجمه است ، بنابراین رابطه بین عملگرهای ترجمه و تکانه [8] است : [ توضیح بیشتر لازم است ]

$T(\varepsilon )=1-{\frac {i}{\hbar }}\varepsilon {\hat {p}}$

بدین ترتیب

${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}.$

عملگر 4 تکانه [ ویرایش ]

درج عملگر تکانه 3 بعدی در بالا و عملگر انرژی در تکانه 4 (به عنوان یک شکل 1 با امضای متریک (+ - - - -) :

$P_{\mu }=\left({\frac {E}{c}},-\mathbf {p} \right)$

عملگر 4 تکانه را به دست می آورد :

${\hat {P}}_{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\hat {E}},-\mathbf {\hat {p}} \right) =i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=i\hbar \partial _{\mu }$

که در آن μ ∂ گرادیان 4 است ، و iħ -به iħ + قبل از عملگر 3 تکانه تبدیل می شود . این عملگر در نظریه میدان کوانتومی نسبیتی ، مانند معادله دیراک و دیگر معادلات موج نسبیتی رخ می‌دهد ، زیرا انرژی و تکانه در بردار 4 تکانه بالا ترکیب می‌شوند، عملگرهای تکانه و انرژی با مشتقات مکان و زمان مطابقت دارند و باید اول باشند. مشتقات جزئی را برای کوواریانس لورنتس مرتب کنید .

عملگر دیراک و اسلش دیراک 4 تکانه با انقباض با ماتریس های گاما داده می شود :

$\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }={\hat {P}}=i \hbar \جزئی \!\!\!/$

اگر امضا (- + + +) بود ، عملگر خواهد بود

${\hat {P}}_{\mu }=\left(-{\frac {1}{c}}{\hat {E}},\mathbf {\hat {p}} \right) =-i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=-i\hbar \partial _{\mu }$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

توضیحات ریاضی میدان الکترومغناطیسی
عملگر ترجمه (مکانیک کوانتومی)
معادلات موج نسبیتی
شبه بردار پائولی-لوبانسکی

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Momentum_operator

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

عملگر تکانه

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین