عملگرهای نردبانی

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه پانزدهم خرداد ۱۴۰۳ | 23:48

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در جبر خطی (و کاربرد آن در مکانیک کوانتومی )، عملگر افزایش یا کاهش (که در مجموع به عنوان عملگرهای نردبانی شناخته می‌شوند) عملگری است که مقدار ویژه عملگر دیگری را افزایش یا کاهش می‌دهد . در مکانیک کوانتومی، عملگر افزایش دهنده گاهی اوقات عملگر ایجاد ، و عملگر پایین آورنده عملگر نابودی نامیده می شود . کاربردهای شناخته شده عملگرهای نردبانی در مکانیک کوانتومی در فرمالیسم های نوسان ساز هارمونیک کوانتومی و تکانه زاویه ای است .

اصطلاحات [ ویرایش ]

مقاله اصلی: عملگرهای ایجاد و نابودی

رابطه ای بین عملگرهای نردبان بالا و پایین و عملگرهای ایجاد و نابودی وجود دارد که معمولاً در نظریه میدان کوانتومی استفاده می شود که در نظریه نمایش نهفته است . عملگر ایجاد a i † تعداد ذرات را در حالت i افزایش می دهد ، در حالی که عملگر نابودی مربوطه a i تعداد ذرات را در حالت i کاهش می دهد . این به وضوح الزامات تعریف فوق از یک عملگر نردبانی را برآورده می کند: افزایش یا کاهش مقدار ویژه یک عملگر دیگر (در این مورد عملگر شماره ذره ).

سردرگمی به وجود می آید زیرا اصطلاح عملگر نردبانی معمولاً برای توصیف عملگری استفاده می شود که برای افزایش یا کاهش یک عدد کوانتومی که وضعیت یک سیستم را توصیف می کند، استفاده می شود. برای تغییر وضعیت یک ذره با عملگرهای ایجاد/نابودی QFT نیاز به استفاده از هر دو عملگر نابودی و ایجاد است. عملگر نابودی برای حذف یک ذره از حالت اولیه و عملگر ایجاد برای افزودن یک ذره به حالت نهایی استفاده می شود.

اصطلاح "عملگر نردبان" یا "عملگرهای بالا و پایین" نیز گاهی در ریاضیات، در زمینه تئوری جبرهای Lie و به ویژه جبرهای لی آفین استفاده می شود . برای مثال برای توصیف زیر جبرهای su(2) ، سیستم ریشه و ماژول های بالاترین وزن را می توان با استفاده از عملگرهای نردبانی ساخت. [1] به ویژه، بالاترین وزن توسط عملگرهای بالابرنده نابود می شود. بقیه فضای ریشه مثبت با اعمال مکرر عملگرهای پایین آورنده (یک مجموعه از عملگرهای نردبانی در هر زیر جبر) به دست می آید.

انگیزه ریاضی [ ویرایش ]

از دیدگاه تئوری نمایش، نمایش خطی یک گروه لی نیمه ساده در پارامترهای حقیقی پیوسته، مجموعه ای از مولدها را برای جبر لی القا می کند . ترکیب خطی پیچیده ای از آن ها عملگرهای نردبانی هستند. [ توضیحات لازم ] برای هر پارامتر مجموعه ای از عملگرهای نردبانی وجود دارد. سپس اینها راهی استاندارد شده برای پیمایش یک بعد از سیستم ریشه و شبکه ریشه هستند . [2] عملگرهای نردبانی نوسانگر هارمونیک کوانتومی یا "نمایش عدد" کوانتیزاسیون دوم فقط موارد خاصی از این حقیقیت هستند. سپس عملگرهای نردبانی در مکانیک کوانتومی از عملگر تکانه زاویه ای ، تا حالت های منسجم و عملگرهای ترجمه مغناطیسی گسسته، همه جا حاضر می شوند.

فرمول کلی [ ویرایش ]

فرض کنید دو عملگر X و N رابطه جابجاگر دارند

$[N,X]=cX$ برای برخی از اسکالر . اگر ${|n\rangle }$ یک حالت ویژه از N با معادله مقدار ویژه است

$N|n\rangle =n|n\rangle ,$ سپس عملگر X عمل می کند $|n\rangle$ به گونه ای که مقدار ویژه را با c تغییر می دهد :

${\begin{تراز شده}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\& =Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{تراز شده}}$

به عبارت دیگر، اگر $|n\rangle$ یک حالت ویژه از N با مقدار ویژه n است ، $X|n\rangle$ یک حالت ویژه از N با مقدار ویژه n + c یا صفر است. عملگر X اگر c حقیقی و مثبت باشد عملگر افزایش دهنده N است و اگر c حقیقی و منفی باشد عملگر کاهش دهنده برای N است.

اگر N یک عملگر هرمیتی باشد ، c باید حقیقی باشد و الحاق هرمیتی X از رابطه جابجاگر تبعیت می کند .

$[N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.$

به طور خاص، اگر X یک عملگر کاهش دهنده برای N باشد ، X † یک عملگر افزایش دهنده برای N است و برعکس. [ مشکوک - بحث ]

حرکت زاویه ای [ ویرایش ]

مقاله اصلی: عملگر حرکت زاویه ای

کاربرد خاصی از مفهوم عملگر نردبانی در درمان مکانیکی کوانتومی تکانه زاویه ای یافت می شود . برای یک بردار تکانه زاویه ای کلی J با مولفه های J x ، J y و J z یکی دو عملگر نردبانی را تعریف می کند [3]

${\begin{aligned}J_{+}&=J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&=J_{x}-iJ_{y},\end{aligned}$

جایی که i واحد موهومی است .

رابطه جابجاگر بین مولفه های دکارتی هر عملگر تکانه زاویه ای با استفاده از

$[J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k},$

که در آن ε ijk نماد لوی-سویتا است و هر یک از i ، j و k می توانند هر یک از مقادیر x ، y و z را بگیرند .

از این، روابط جابجاگر بین عملگرهای نردبان و J z به دست می آید:

${\begin{aligned}{}[J_{z},J_{\pm }]&=\pm \hbar J_{\pm },\\{}[J_{+},J_{-}] &=2\hbar J_{z}\end{تراز شده}}$ (از نظر فنی، این جبر لی است ${{\mathfrak {s}}l}(2,\mathbb {R} )$ ).

خواص عملگرهای نردبانی را می توان با مشاهده اینکه چگونه عمل عملگر Jz را در یک حالت مشخص تغییر می دهند تعیین کرد:

${\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j\,m\rangle &={\big (}J_{\pm }J_{z}+[J_{z},J_{ \pm }]{\big )}|j\,m\rangle \\&=(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm })|j\,m\rangle \\& =\hbar (m\pm 1)J_{\pm }|j\,m\rangle .\end{تراز شده}}$

این نتیجه را با

$J_{z}|j\,(m\pm 1)\rangle =\hbar (m\pm 1)|j\,(m\pm 1)\rangle .$

بنابراین، یکی نتیجه می گیرد که ${J_{\pm }|j\,m\rangle }$ مقداری اسکالر ضربدر است ${|j\,(m\pm 1)\rangle }$ :

${\begin{aligned}J_{+}|j\,m\rangle &=\alpha |j\,(m+1)\rangle ,\\J_{-}|j\,m\rangle & =\beta |j\,(m-1)\rangle .\end{تراز شده}}$

این ویژگی تعیین کننده عملگرهای نردبانی در مکانیک کوانتومی را نشان می دهد: افزایش (یا کاهش) یک عدد کوانتومی، در نتیجه نگاشت یک حالت کوانتومی به حالت دیگر. به همین دلیل است که آنها اغلب به عنوان عملگرهای افزایش و کاهش شناخته می شوند.

برای به دست آوردن مقادیر α و β ، ابتدا هنجار هر عملگر را بگیرید، با تشخیص اینکه J + و J- یک جفت مزدوج هرمیتی هستند . $J_{\pm }=J_{\mp }^{\ خنجر }$ ):

${\begin{تراز شده}&\langle j\,m|J_{+}^{\dagger }J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{-}J_ {+}|j\,m\rangle =\langle j\,(m+1)|\alpha ^{*}\alpha |j\,(m+1)\rangle =|\alpha |^{2} ,\\&\langle j\,m|J_{-}^{\ خنجر }J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{+}J_{-}|j\ ,m\rangle =\langle j\,(m-1)|\beta ^{*}\beta |j\,(m-1)\rangle =|\بتا |^{2}.\end{تراز شده} }$

حاصل ضرب عملگرهای نردبانی را می توان بر حسب جفت رفت و آمد J 2 و J z بیان کرد :

${\begin{aligned}J_{-}J_{+}&=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2} +J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},\\J_{+ }J_{-}&=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[ J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.\end{تراز شده}}$

بنابراین، می توان مقادیر | را بیان کرد α | 2 و | β | 2 بر حسب مقادیر ویژه J 2 و J z :

${\begin{aligned}|\alpha |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}-\hbar ^{2} m=\hbar ^{2}(jm)(j+m+1)،\\|\beta |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2} m^{2}+\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j+m)(j-m+1).\end{تراز شده}}$

فازهای α و β از نظر فیزیکی مهم نیستند، بنابراین می توان آنها را مثبت و حقیقی انتخاب کرد

( کنوانسیون فاز کاندون - شورتلی ). سپس داریم [4]

${\begin{aligned}J_{+}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(jm)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j,m+1\rangle ,\\J_{-}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j +m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j,m-1\rangle .\end{تراز شده}}$

تأیید اینکه m با مقدار j محدود شده است $-j\leq m\leq j$ )، مدارد

${\begin{aligned}J_{+}|j,\,+j\rangle &=0,\\J_{-}|j,\,-j\rangle &=0.\end{تراز شده} }$

نمایش فوق در واقع ساخت ضرایب کلبش-گوردان است .

کاربردها در فیزیک اتمی و مولکولی [ ویرایش ]

بسیاری از اصطلاحات در هامیلتونی سیستم های اتمی یا مولکولی شامل حاصل ضرب اسکالر عملگرهای تکانه زاویه ای است. یک مثال عبارت دوقطبی مغناطیسی در هامیلتونی فوق ظریف است : [5]

${\hat {H}}_{\text{D}}={\hat {A}}\mathbf {I} \cdot \mathbf {J}،$

جایی که Iچرخش هسته ای .

جبر مومنتوم زاویه ای را اغلب می توان با ریختن مجدد آن در پایه کروی ساده کرد . با استفاده از علامت گذاری عملگرهای تانسور کروی ، مولفه های

"-1"، "0" و "+1" J (1) ≡ J توسط [6] به دست می آیند.

${\begin{aligned}J_{-1}^{(1)}&={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}-iJ_{y})={\ dfrac {J_{-}}{\sqrt {2}}}،\\J_{0}^{(1)}&=J_{z}،\\J_{+1}^{(1)}&= -{\frac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}+iJ_{y})=-{\frac {J_{+}}{\sqrt {2}}}.\end{تراز شده }}$

از این تعاریف می توان نشان داد که ضرب اسکالر فوق را می توان به صورت بسط داد

$\mathbf {I} ^{(1)}\cdot \mathbf {J} ^{(1)}=\sum _{n=-1}^{+1}(-1)^{n} I_{n}^{(1)}J_{-n}^{(1)}=I_{0}^{(1)}J_{0}^{(1)}-I_{-1}^{ (1)}J_{+1}^{(1)}-I_{+1}^{(1)}J_{-1}^{(1)}.$

اهمیت این بسط در این است که به وضوح نشان می‌دهد که کدام حالت‌ها با این عبارت در همیلتونی جفت می‌شوند، یعنی آن‌هایی که اعداد کوانتومی با m i = ± 1 و mj = ∓1 فقط متفاوت هستند .

نوسان ساز هارمونیک [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نوسانگر هارمونیک کوانتومی

کاربرد دیگر مفهوم عملگر نردبانی در عملیات مکانیکی کوانتومی نوسان ساز هارمونیک یافت می شود. ما می توانیم عملگرهای کاهش و افزایش را به این صورت تعریف کنیم

${\begin{aligned}{\hat {a}}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right),\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x }}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right).\end{تراز شده}}$

آنها ابزاری مناسب برای استخراج مقادیر ویژه انرژی بدون حل مستقیم معادله دیفرانسیل سیستم فراهم می کنند.

اتم هیدروژن مانند [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اتم هیدروژن مانند

دو رویکرد اصلی در ادبیات با استفاده از عملگرهای نردبانی ارائه شده است، یکی با استفاده از بردار لاپلاس - رانج - لنز، دیگری با استفاده از فاکتورگیری از همیلتونین.

بردار لاپلاس-رانج-لنز [ ویرایش ]

کاربرد دیگر مفهوم عملگر نردبانی در پردازش مکانیکی کوانتومی انرژی الکترونیکی اتم ها و یون های هیدروژن مانند است. بردار لاپلاس - رانج - لنز با همیلتونین برای یک پتانسیل متقارن کروی مربع معکوس جابجا می شود و می تواند برای تعیین عملگرهای نردبانی برای این پتانسیل استفاده شود. [7] [8] ما می‌توانیم عملگرهای کاهش و افزایش را تعریف کنیم (بر اساس بردار کلاسیک Laplace-Runge-Lenz )

${\vec {A}}=\left({\frac {1}{Ze^{2}\mu }}\right)\left\{{\vec {L}}\times {\vec { p}}-{\boldsymbol {i}}\hbar {\vec {p}}\right\}+{\frac {\vec {r}}{r}}،$ جایی که ${\vec {L}}$ تکانه زاویه ای است، ${\vec {p}}$ تکانه خطی است، $\mu$ جرم کاهش یافته سیستم است،ه $e$ شارژ الکترونیکی است و $Z$ عدد اتمی هسته است. مشابه عملگرهای نردبانی تکانه زاویه ای، یکی دارد $A_{+}=A_{x}+iA_{y}$ و $A_{-}=A_{x}-iA_{y}$ .

کموتاتورهای مورد نیاز برای ادامه هستند

$[A_{\pm },L_{z}]=\mp {\boldsymbol {i}}\hbar A_{\mp }$ و

$[A_{\pm },L^{2}]=\mp 2\hbar ^{2}A_{\pm }-2\hbar A_{\pm }L_{z}\pm 2\hbar A_ {z}L_{\pm }.$ از این رو،

$A_{+}|?,\ell ,m_{\ell }\rangle \rightarrow |?,\ell ,m_{\ell }+1\rangle$

$-L^{2}\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right)=-\hbar ^{2}(\ell +1)((\ell +1) +1)\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right),$

بنابراین

$A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \rightarrow |?,\ell +1,\ell +1\rangle ,$

که "؟" یک عدد کوانتومی نوپا را نشان می دهد که از بحث بیرون می آید.

با توجه به معادلات پائولی [9] [10] IV:

$1-A\cdot A=-\left({\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)(L^{2}+\hbar ^{2 })$

$\left(A\times A\right)_{j}=-\left({\frac {2{\boldsymbol {i}}\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4 }}}\راست)L_{j}،$

و با معادله شروع می شود

$A_{-}A_{+}|\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0$ و در حال گسترش، به دست می آید (با فرض $\ell ^{*}$ حداکثر مقدار عدد کوانتومی تکانه زاویه ای همخوان با سایر شرایط است)

$\left(1+{\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}(L^{2}+\hbar ^{2})-i{\frac {2i \hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}L_{z}\right)|?,\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0,$

که منجر به فرمول رایدبرگ می شود

$E_{n}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(\ell ^{*}+1)^{2}}} ،$ دلالت بر آن دارد $\ell ^{*}+1=n=?$ ، جایی که $n$ عدد کوانتومی سنتی است.

فاکتورسازی همیلتونی [ ویرایش ]

همیلتونی برای پتانسیل هیدروژن مانند را می توان در مختصات کروی به صورت نوشتاری نوشت

$H={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}L^{2}\راست ]+V(r)،$

جایی که $V(r)=-Ze^{2}/r$

و تکانه شعاعی

$p_{r}={\frac {x}{r}}p_{x}+{\frac {y}{r}}p_{y}+{\frac {z}{r}}p_{ z}،$

که حقیقی و خود مزدوج است.

فرض کنید $|nl\rangle$ یک بردار ویژه از هامیلتونی است که در آن $l$ تکانه زاویه ای است و $n$ نشان دهنده انرژی است، بنابراین $L^{2}|nl\rangle =l(l+1)\hbar ^{2}|nl\rangle$ و ممکن است همیلتونی را به عنوان برچسب گذاری کنیم $H_{l}$ :

$H_{l}={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}l(l+ 1)\hbar ^{2}\right]+V(r).$

روش فاکتورسازی توسط اینفلد و هال [11] برای معادلات دیفرانسیل توسعه داده شد. نیومارچ و گلدینگ [12] آن را برای پتانسیل های متقارن کروی با استفاده از نماد عملگر اعمال کردند.

فرض کنید می‌توانیم فاکتورسازی همیلتونی را توسط عملگرها پیدا کنیم $C_{l}$ مانند

$C_{l}^{*}C_{l}=2\mu H_{l}+F_{l}،$ ( 1 )

$C_{l}C_{l}^{*}=2\mu H_{l+1}+G_{l}$ برای اسکالرها $F_{l}$ و $G_{l}$ . بردار $C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle$ را می توان به دو صورت مختلف ارزیابی کرد

${\begin{aligned}C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle &=(2\mu E_{l}^{n}+F_{l})C_ {l}|nl\rangle \\&=(2\mu H_{l+1}+G_{l})C_{l}|nl\rangle ,\end{تراز شده}}$ که می توان آن را دوباره تنظیم کرد

$H_{l+1}(C_{l}|nl\rangle )=[E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu )](C_ {l}|nl\rangle )$ نشان دادن آن $C_{l}|nl\rangle$ یک حالت ویژه از $H_{l+1}$ با ارزش ویژه

$E_{l+1}^{n'}=E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu ).$ اگر $F_{l}=G_{l}$ ، سپس $n'=n$ ، و حالت ها $|nl\rangle$ و $C_{l}|nl\rangle$ همین انرژی را دارند

برای اتم هیدروژنی، تنظیم

$V(r)=-{\frac {B\hbar }{\mu r}}$

با

$B={\frac {Z\mu e^{2}}{\hbar }},$ معادله ای مناسب برای $C_{l}$ است

$C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-{\frac {iB}{l+1}}$ با

$F_{l}=G_{l}={\frac {B^{2}}{(l+1)^{2}}}.$ اگر انرژی منفی باشد یک کران بالایی برای عملگر نردبان وجود دارد (بنابراین $C_{l}|nl_{\text{max}}\rangle =0$ برای برخی $l_{\text{max}}$ ، پس اگر از رابطه ( 1 ) به دست آید که

$E_{l}^{n}=-F_{l}/{2\mu }=-{\frac {B^{2}}{2\mu (l_{\text{max}}+1 )^{2}}}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(l_{\text{max}}+1)^{2} }}،$ و $n$ را می توان $l_{\text{max}}+1.$

ارتباط با نظریه گروه [ ویرایش ]

هرگاه در یک سیستم انحطاط وجود داشته باشد، معمولاً یک ویژگی و گروه تقارن مرتبط وجود دارد. انحطاط سطوح انرژی برای همان مقدار از $n$ اما گشتاورهای زاویه ای مختلف به عنوان تقارن SO(4) پتانسیل کولن متقارن کروی شناسایی شده است . [13] [14]

نوسانگر هارمونیک ایزوتروپیک سه بعدی [ ویرایش ]

نوسان ساز هارمونیک ایزوتروپیک سه بعدی دارای پتانسیلی است که توسط

$V(r)={\tfrac {1}{2}}\mu \omega ^{2}r^{2}.$

به طور مشابه می توان با استفاده از روش فاکتورسازی مدیریت کرد.

روش فاکتورسازی [ ویرایش ]

فاکتورسازی مناسب توسط [12] ارائه شده است.

$C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-i\mu \omega r$

با

$F_{l}=-(2l+3)\mu \omega \hbar$ و

$G_{l}=-(2l+1)\mu \omega \hbar .$

سپس

$E_{l+1}^{n^{'}}=E_{l}^{n}+{\frac {F_{l}-G_{l}}{2\mu }}=E_{ l}^{n}-\omega \hbar ,$

و در ادامه این،

${\begin{aligned}E_{l+2}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-2\omega \hbar \\E_{l+3}^{n ^{'}}&=E_{l}^{n}-3\omega \hbar \\&\;\;\vdots \end{تراز شده}}$

اکنون هامیلتونی فقط سطوح انرژی مثبتی دارد که از آن مشخص است

${\begin{aligned}\langle \psi |2\mu H_{l}|\psi \rangle &=\langle \psi |C_{l}^{*}C_{l}|\psi \rangle +\langle \psi |(2l+3)\mu \omega \hbar |\psi \rangle \\&=\langle C_{l}\psi |C_{l}\psi \rangle +(2l+3)\ mu \omega \hbar \langle \psi |\psi \rangle \\&\geq 0.\end{تراز شده}}$

این بدان معنی است که برای مقداری از $l$ سریال باید با $C_{l_{\text{max}}}|nl_{\text{max}}\rangle =0,$ و سپس

$E_{l_{\text{max}}}^{n}=-{\frac {F_{l_{\text{max}}}}{2\mu }}=\left(l_{\text {max}}+{\frac {3}{2}}\right)\omega \hbar .$

این در حال کاهش در انرژی توسط $\omega \hbar$ مگر اینکه $C_{l}|n,l\rangle =0$ برای مقداری از ارزش $l$ . شناسایی این مقدار به عنوان $n$ می دهد

$E_{l}^{n}=-F_{l}=\left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\omega \hbar .$

سپس آن را دنبال می کند $n'=n-1$ به طوری که

$C_{l}|nl\rangle =\lambda _{l}^{n}|n-1,\,l+1\rangle ,$

دادن یک رابطه بازگشتی در $\lambda$ با حل

$\lambda _{l}^{n}=-\mu \omega \hbar {\sqrt {2(nl)}}.$

انحطاط ناشی از حرکت زاویه ای وجود دارد. انحطاط اضافی ناشی از پتانسیل اسیلاتور وجود دارد. حالت ها را در نظر بگیرید $|n,\,n\rangle ,|n-1,\,n-1\rangle ,|n-2,\,n-2\rangle ,\dots$ و

عملگرهای کاهش دهنده را اعمال کنید $C^{*}$ : $C_{n-2}^{*}|n-1,\,n-1\rangle ,C_{n-4}^{*}C_{n-3}^{*}|n-2 ,\,n-2\rangle ,\dots$ دادن دنباله $|n,n\rangle ,|n,\,n-2\rangle ,|n,\,n-4\rangle ,\dots$ با همان انرژی اما بال $l$ 2 کاهش می یابد. علاوه بر انحطاط تکانه زاویه ای، این یک انحطاط کلی از $(n+1)(n+2)/2$ [15]

ارتباط با نظریه گروه [ ویرایش ]

انحطاط نوسانگر هارمونیک همسانگرد سه بعدی مربوط به گروه واحد SU(3) [15] [16] است.

تاریخچه [ ویرایش ]

بسیاری از منابع، پل دیراک را به اختراع عملگرهای نردبان اعتبار می دهند. [17] استفاده دیراک از عملگرهای نردبانی نشان می دهد که عدد کوانتومی تکانه زاویه ای کل $j$ باید یک مضرب نیمه صحیح غیر منفی از ħ باشد .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

عملگرهای ایجاد و نابودی
نوسان ساز هارمونیک کوانتومی
اساس شوالی

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Ladder_operator

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

عملگرهای نردبانی

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین