ریاضیات

5.6
راه حل های معادله پواسون با شرایط مرزی

رویکردی برای حل معادله پواسون در ناحیه‌ای که توسط سطوح با پتانسیل شناخته شده محدود شده است در Sec تشریح شد. 5.1. پتانسیل به بخش خاصی تقسیم می شود که لاپلاسین آن در سراسر منطقه مورد نظر تعادل - / o دارد، و بخش همگنی که مجموع دو پتانسیل شرایط مرزی را برآورده می کند. به اختصار،

و روی سطوح محصور،

مثال های زیر این رویکرد را نشان می دهد. در همان زمان آنها استفاده از راه حل های مختصات دکارتی را برای معادله لاپلاس و این ایده را نشان می دهند که میدان های توصیف شده می توانند با زمان متفاوت باشند.

مثال 5.6.1. میدان سفر موج بار فضایی بین سطوح هم پتانسیل

سطح مقطع یک سیستم دو بعدی که تا بی نهایت در جهت x و z کشیده شده است در شکل 5.6.1 نشان داده شده است. رساناها در صفحات y = a و y = -a ناحیه مورد نظر را محدود می کنند. بین این صفحات چگالی بار در جهت x تناوبی است و به طور یکنواخت در جهت y توزیع می شود .

شکل 5.6.1 مقطع لایه بار که در جهت x تناوبی است و از بالا و پایین توسط صفحات پتانسیل صفر محدود شده است. با انتقال این بار به سمت راست، یک الکترود عایق قرار داده شده در پتانسیل پایین تر برای تشخیص حرکت استفاده می شود.

به پارامترهای o و ثابت داده می شود. در حال حاضر، قطعه ای که از طریق مقاومت در الکترود پایینی به زمین متصل شده است را می توان با پتانسیل صفر مشابه باقیمانده الکترود در صفحه x = -a و الکترود در صفحه y = a در نظر گرفت . ابتدا توزیع میدان را می خواهیم.

به یاد داشته باشید که هر راه حل خاصی برای (2) جواب می دهد. از آنجایی که چگالی بار مستقل از y است ، طبیعی است که به دنبال راه حل خاصی با همان ویژگی باشیم. سپس، در سمت چپ در (2) مشتق دوم با توجه به x است ، و معادله را می توان دو بار ادغام کرد تا به دست آید.

این راه حل خاص مستقل از y است . توجه داشته باشید که این پتانسیل با ارزیابی انتگرال برهم نهی بر بار بین صفحات زمین شده به دست نمی آید. با مشاهده در تمام فضا، آن توزیع بار مستقل از y نیست . در واقع، پتانسیل (6) با توزیع بار مطابق با (5) همراه است که تا بی نهایت در جهت های +y و -y گسترش می یابد .

راه حل همگن باید این واقعیت را جبران کند که (6) شرایط مرزی را برآورده نمی کند. یعنی در مرزها، = 0 در (1)، بنابراین راه حل های همگن و خاص باید در آنجا متعادل شوند.

بنابراین، ما به دنبال راه حلی برای معادله لاپلاس (3) هستیم که این شرایط مرزی را برآورده کند. از آنجایی که پتانسیل روی مرزها مقدار یکسانی دارد و مبدأ محور y در میانه راه انتخاب شده است، واضح است که پتانسیل باید تابعی زوج از y باشد . علاوه بر این، باید تناوب در جهت x داشته باشد که با (7) مطابقت داشته باشد. بنابراین، از فهرست راه‌حل‌های معادله لاپلاس در مختصات دکارتی در ستون میانی جدول 5.4.1، k = ، عبارات sin kx به نفع راه‌حل‌های cos kx حذف می‌شوند و راه‌حل cosh ky انتخاب می‌شود، زیرا حتی در y .

اکنون ضریب A طوری تنظیم می شود که شرایط مرزی با جایگزینی (8) به (7) برآورده شود.

برهم نهی محلول خاص (7) و محلول همگنی که با جایگزینی ضریب (9) به (8) داده می شود، توزیع پتانسیل مورد نظر را به همراه دارد.

راه حل های ریاضی مورد استفاده در استخراج (10) در شکل 5.6.2 نشان داده شده است. راه حل خاص یک میدان الکتریکی را توصیف می کند که از مناطق با چگالی بار مثبت منشأ می گیرد و در مناطق با چگالی بار منفی خاتمه می یابد. صرفاً جهت X است و بنابراین بر مرز هم پتانسیل مماس است. محلول همگنی که به این میدان اضافه می شود کاملاً به دلیل بارهای سطحی است. اینها میدانی را به وجود می آورند که میدان مماسی را در دیوارها از بین می برد و آنها را به سطوحی با پتانسیل ثابت تبدیل می کند. بنابراین، مجموع جواب ها (همچنین در شکل نشان داده شده است)، قانون گاوس و شرایط مرزی را برآورده می کند.

شکل 5.6.2 هم پتانسیل ها و خطوط میدان برای پیکربندی شکل 5.6.1 که به صورت گرافیکی برهم نهی قطعات خاص و همگن را نشان می دهد که پتانسیل لازم را می دهد.

با در نظر گرفتن این نمای ایستا از میدان ها، فرض کنید که توزیع بار در جهت x با سرعت v حرکت می کند .

متغیر x در (5) با x-vt جایگزین شده است . با این توزیع بار متحرک، میدان نیز حرکت می کند. بنابراین، (10) می شود

توجه داشته باشید که محلول همگن اکنون ترکیبی خطی از راه حل های اول و سوم در ستون میانی جدول 5.4.1 است.

همانطور که موج بار فضایی حرکت می کند، بارهای القا شده بر روی دیوارهای کاملا رسانا به صورت همزمان دنبال می شوند. جریانی که با توزیع مجدد بارهای سطحی همراه است، در صورتی تشخیص داده می شود که بخشی از دیوار از بقیه عایق شده و از طریق یک مقاومت به زمین متصل شود، همانطور که در شکل 5.6.1 نشان داده شده است. با این فرض که مقاومت به اندازه کافی کوچک است به طوری که قطعه اساساً در پتانسیل صفر باقی می ماند، ولتاژ خروجی v o چقدر است ؟

جریان عبوری از مقاومت با فراخوانی بقای بار برای قطعه برای یافتن جریانی که نرخ زمانی تغییر بار خالص روی قطعه است، پیدا می‌شود. دومی از قانون انتگرال گاوس و (12) پیروی می کند

نتیجه این است که دینامیک موج سفر بار فضایی در ولتاژ اندازه گیری شده منعکس می شود.

در نوشتن این عبارت از فرمول های دو زاویه ای استفاده شده است.

چندین پیش بینی باید با شهود سازگار باشد. ولتاژ خروجی به صورت سینوسی با زمان در فرکانس متناسب با سرعت و نسبت معکوس با طول موج، 2 / تغییر می کند . هر چه سرعت بیشتر باشد، ولتاژ بیشتر است. در نهایت، اگر الکترود تشخیص مضربی از طول موج 2 / 2 باشد ، ولتاژ صفر است.

اگر چگالی بار در نواحی سطح مانند که در مقایسه با سایر ابعاد مورد نظر نازک هستند متمرکز شود، می توان معادله پواسون را با شرایط مرزی با استفاده از روشی حل کرد که ظاهر معادله لاپلاس را به جای معادله پواسون دارد. پتانسیل معمولاً به توابع پیوسته تکه‌ای تقسیم می‌شود و تأثیر چگالی بار توسط شرایط پیوستگی گاوس ایجاد می‌شود که برای اتصال توابع در سطح اشغال شده توسط چگالی بار استفاده می‌شود. مثال زیر این روش را نشان می دهد. آنچه انجام شده است، حل معادله پواسون در کل منطقه، از جمله سطح حامل بار است.

مثال 5.6.2. پرتو نازک دسته ای از ذرات باردار بین صفحات رسانا

در تقویت کننده ها و نوسانگرهای مایکروویو از نوع پرتو الکترونی، یک مشکل اساسی ارزیابی میدان الکتریکی تولید شده توسط یک پرتو الکترونی دسته ای است. سطح مقطع پرتو در مقایسه با طول موج فضای آزاد یک موج الکترومغناطیسی معمولاً کوچک است، در این مورد تقریب الکتروکوازیستاتیک اعمال می شود.

ما یک پرتو الکترونی نواری را در نظر می گیریم که چگالی بار آن بر سطح مقطع آن یکنواخت است . پرتو با سرعت v در جهت x بین دو هادی کامل مسطح واقع در y = a و در پتانسیل صفر حرکت می کند. پیکربندی به صورت مقطعی در شکل 5.6.3 نشان داده شده است. علاوه بر چگالی بار یکنواخت، یک "ریپل" چگالی بار وجود دارد، به طوری که چگالی بار خالص است.

که در آن o ، 1 و \Lambda ثابت هستند. این سیستم را می‌توان به گونه‌ای ایده‌آل کرد که در جهت‌های x و y دارای وسعت نامتناهی باشد .

شکل 5.6.3 مقطع پرتو بار ورق بین صفحات هم پتانسیل موازی صفحه. پرتو با چگالی بار سطحی دارای قطعات dc و ac مدل‌سازی می‌شود.

ضخامت پرتو بسیار کوچکتر از طول موج موج چگالی بار دوره ای و بسیار کوچکتر از فاصله 2a رسانای مسطح است. بنابراین، پرتو به عنوان یک صفحه بار سطحی با چگالی در نظر گرفته می شود

که در آن o = o و 1 = 1 .

در نواحی (a) و (b) به ترتیب در بالا و پایین تیر، پتانسیل از معادله لاپلاس پیروی می کند. اکنون از بالانویس های (a) و (b) برای تعیین متغیرهای ارزیابی شده در این مناطق استفاده می شود. برای تضمین رعایت قوانین اساسی در صفحه، این پتانسیل ها باید شرایط جهش مندرج در قوانین فارادی و گاوس (5.3.4) و (5.3.5) را برآورده کنند. یعنی در y = 0

برای تکمیل مشخصات میدان در ناحیه بین صفحات، شرایط مرزی در y = a ،

و در y = -a ،

در مناطق مربوطه، پتانسیل به ترتیب به قطعات dc و ac تقسیم می‌شود که توسط بخش‌های یکنواخت و موج دار چگالی بار تولید می‌شود.

طبق تعریف، o و 1 معادله لاپلاس و (17)، (19)، و (20) را برآورده می کنند. قسمت dc، o ، تنها با عبارت اول در سمت راست، (18) را برآورده می کند، در حالی که قسمت ac، 1 ، تنها با جمله دوم (18) را برآورده می کند.

چگالی بار سطحی dc مستقل از x است ، بنابراین طبیعی است که به دنبال پتانسیل هایی باشیم که مستقل از x نیز باشند . از ستون اول در جدول 5.4.1، چنین راه حل هایی هستند

چهار ضریب در این عبارات در صورت نیاز با جایگزینی این عبارات و حل رسمی برای ضرایب از (17) - (20) تعیین می شود. راه حلی جذاب تر با بازرسی است که تشخیص می دهد سیستم با توجه به y متقارن است ، بار سطحی یکنواخت باعث ایجاد میدان های الکتریکی یکنواختی می شود که در دو ناحیه به سمت بالا و پایین هدایت می شوند و پتانسیل خطی مرتبط باید صفر باشد. در دو مرز

اکنون بخش ac از پتانسیل را در نظر بگیرید. وابستگی x توسط (18) پیشنهاد می شود، که روشن می کند که برای راه حل های محصول، وابستگی x پتانسیل باید تابع کسینوس باشد که با زمان حرکت می کند. نه توابع sinh و نه توابع cosh در مرزها ناپدید نمی شوند، بنابراین باید ترکیبی خطی از اینها را برای برآوردن شرایط مرزی در y = +a بگیریم . اگر تشخیص داده شود که مبدأ محور y مورد استفاده در نوشتن راه حل ها دلخواه است، این کار به طور موثر با بازرسی انجام می شود. راه حل های معادله لاپلاس که شرایط مرزی (19) و (20) را برآورده می کند، عبارتند از:

این پتانسیل ها باید مطابق با y = 0 مطابق با (17) باشند، بنابراین ممکن است آنها را با ضرایب تنظیم شده بنویسیم.

یک ضریب باقیمانده با جایگزینی این عبارات به (18) (با حذف شده) تعیین می شود .

ما پتانسیل را به عنوان یک تابع پیوسته تکه ای یافته ایم. در ناحیه (الف) برهم نهی (24) و (28) و در ناحیه (ب) (25) و (29) است. در هر دو عبارت، C با (30) ارائه شده است.

وقتی t = 0 ، قسمت ac این توزیع پتانسیل مطابق شکل 5.6.4 است. با افزایش زمان، توزیع میدان به سمت راست با سرعت v ترجمه می شود . توجه داشته باشید که برخی از خطوط شدت میدان الکتریکی که روی پرتو منشا می‌گیرند، در جای دیگری از پرتو ختم می‌شوند، در حالی که برخی دیگر به دیواره‌های هم پتانسیل ختم می‌شوند. اگر دیوارها حتی یک طول موج از پرتو فاصله داشته باشند (a = \Lambda) ، تقریباً تمام خطوط میدان به جای دیگری از پرتو ختم می‌شوند. یعنی جفت شدن به دیوار تنها در صورتی مهم است که طول موج در حد یک یا بزرگتر باشد . ماهیت راه حل های معادله لاپلاس مشهود است. پتانسیل های دو بعدی که به سرعت در یک جهت تغییر می کنند باید به همان سرعت در جهت عمود بر هم تجزیه شوند.

شکل 5.6.4 برابری پتانسیل ها و خطوط میدان ناشی از قسمت ac شارژ ورق در پیکربندی شکل 5.6.3.

مقایسه میدان های تیر ورق نشان داده شده در شکل 5.6.4 و توزیع دوره ای چگالی بار حجمی نشان داده شده در شکل 5.6.2 یادآور شباهت دو موقعیت فیزیکی است. حتی اگر معادله لاپلاس در زیرمنطقه‌های پیکربندی در نظر گرفته شده در این بخش اعمال می‌شود، در واقع این معادله پواسون است که مانند مثال قبلی «در بزرگ» حل می‌شود.

https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter5/5.6.html