ریاضیات

الف) سیستم معادلات خطی زیر را به عنوان تابعی از پارامتر m € R مورد بحث قرار دهید

ب) هنگامی که سیستم سازگار است، راه حل را محاسبه کنید. کاستیا لا مانچا PAEG ژوئن 2012 ریاضیات II

راه حل : الف) ما سیستمی از 4 معادله با سه مجهول داریم (معادلات بیشتر از مجهولات) که به پارامتر m بستگی دارد
. مجهولات و M* ماتریس گسترش یافته با ستون اصطلاحات مستقل. (محدوده ماتریس ضریب مجهول نمی تواند بیشتر از تعداد مجهولات باشد)

ما با یافتن محدوده ماتریس مربع M* شروع می کنیم، که با تعیین کننده ها انجام می دهیم

(برای یافتن صفرها در ستون 4 و گسترش تعیین کننده توسط این ستون، ردیف 4 را از ردیف 3 کم می کنیم.)

(m – 2)(2m –10 – 2 + 3m – 9 – 2m+ 6 + 6 – m + 5 ) = (m – 2) (2m – 4) = 2 (m – 2) 2 = 0 => m = 2 double.

با جایگزینی مقدار پارامتر (m = 2) ماتریس گسترش یافته باقی می ماند:

برای یافتن محدوده موارد زیر را مشاهده می کنیم :

سیستم همگن است (محدوده M و M* یکسان است)
کوچکترین مرتبه 2 که توسط دو سطر اول و دو ستون اول تشکیل شده است.

=> که به این معنی است که محدوده حداقل 2 است.

ردیف 4 مجموع ردیف های 2 و 3 است، سپس آن را حذف می کنیم
دو عنصر اول ردیف 3 مجموع مجموع مربوط به ردیف های 1 و 2 هستند، اما همینطور است. با عنصر سوم اتفاق نمی افتد، بنابراین محدوده 3 است

برای m = 2 => ماتریس M توسط 3 ستون اول M* تشکیل می شود، بنابراین محدوده آن 3 است

خلاصه :

- اگر m ≠ 2 => رتبه (M) = 3 و رتبه(M*) = 4 => سیستم ناسازگار (راه حلی وجود ندارد)
- اگر m = 2 => رتبه(M) = 3 و رتبه(M*) = 3 = تعداد مجهولات => سیستم سازگار تعیین شده (راه حل یکبار مصرف)

ب) همانطور که در بخش الف مشاهده می شود) یک سیستم همگن سازگار تعیین شده است، به این معنی که تنها راه حل ممکن x = y = z = 0 (راه حل بی اهمیت) است.

منبع

http://www.grupogerardodelacalle.es/ciencias/matematicas/2-bachillerato/129-ejercicio-de-algebra-paeg-castilla-la-mancha-junio-2012