مشخصات لاگرانژی و اولری میدان جریان

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۱ | 2:27

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله در مورد مکانیک پیوسته است. برای استفاده از مختصات تعمیم یافته در مکانیک کلاسیک، مختصات تعمیم یافته ، مکانیک لاگرانژی و مکانیک همیلتونی را ببینید.

پرونده:لاگرانژ در مقابل اویلرین

در نظریه‌های میدان کلاسیک ، مشخصات لاگرانژی میدان جریان ، روشی برای نگاه کردن به حرکت سیال است که در آن ناظر یک بسته سیال منفرد را هنگام حرکت در فضا و زمان دنبال می‌کند. [1] [2] ترسیم موقعیت یک بسته جداگانه در طول زمان، مسیر بسته را نشان می دهد . این را می توان به صورت نشستن در یک قایق و در حال حرکت در رودخانه تجسم کرد.

مشخصات اویلری میدان جریان ، روشی برای نگاه کردن به حرکت سیال است که بر مکان‌های خاصی در فضایی که سیال از طریق آن با گذشت زمان در جریان است، تمرکز می‌کند. [1] [2] این را می توان با نشستن در ساحل رودخانه و تماشای عبور آب از محل ثابت تجسم کرد.

مشخصات لاگرانژی و اویلری میدان جریان گاهی اوقات به صورت آزادانه به عنوان چارچوب مرجع لاگرانژی و اولری نشان داده می شود . با این حال، به طور کلی، هر دو مشخصات لاگرانژی و اولری میدان جریان را می توان در هر چارچوب مرجع ناظری ، و در هر سیستم مختصاتی که در چارچوب مرجع انتخابی استفاده می شود، اعمال کرد.

این مشخصات در دینامیک سیالات محاسباتی منعکس می‌شوند ، جایی که شبیه‌سازی‌های «اولیری» از یک شبکه ثابت استفاده می‌کنند، در حالی که شبیه‌سازی‌های «لاگرانژی» (مانند شبیه‌سازی‌های بدون مش ) دارای گره‌های شبیه‌سازی هستند که ممکن است به دنبال میدان سرعت حرکت کنند .

توضیحات [ ویرایش ]

در مشخصات اویلری یک میدان ، میدان به عنوان تابعی از موقعیت x و زمان t نشان داده می شود. به عنوان مثال، سرعت جریان با یک تابع نشان داده می شود

$\mathbf {u} \left(\mathbf {x},t\right).$

از سوی دیگر، در مشخصات لاگرانژی ، بسته‌های سیال منفرد در طول زمان دنبال می‌شوند. بسته های سیال با مقداری فیلد برداری (مستقل از زمان) x 0 برچسب گذاری می شوند . (اغلب، x 0 به عنوان موقعیت مرکز جرم بسته ها در زمان اولیه t 0 انتخاب می شود. به این روش خاص برای در نظر گرفتن تغییرات احتمالی شکل در طول زمان انتخاب می شود. بنابراین مرکز جرم انتخاب می شود. پارامترسازی خوبی برای سرعت جریان u بسته است.) [1] در توصیف لاگرانژی، جریان با یک تابع توصیف می‌شود.

$\mathbf {X} \left(\mathbf {x} _{0},t\right)$ موقعیت ذره ای که x 0 در زمان t نشان داده شده است.

این دو مشخصات به شرح زیر مرتبط هستند: [2]

$\mathbf {u} \left(\mathbf {X} (\mathbf {x} _{0},t),t\right)={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial t}}\left(\mathbf {x} _{0},t\right)$ زیرا هر دو طرف سرعت ذره ای را که x 0 نشان داده شده در زمان t توصیف می کنند.

در یک سیستم مختصات انتخاب شده، x 0 و x به ترتیب مختصات لاگرانژی و مختصات اویلری جریان نامیده می شوند.

مشتق مواد [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مشتقات مادی

مشخصات لاگرانژی و اولری سینماتیک و دینامیک میدان جریان با مشتق ماده (همچنین مشتق لاگرانژی، مشتق همرفتی، مشتق اساسی، یا مشتق ذره) مرتبط است. [1]

فرض کنید یک میدان جریان u داریم، و همچنین یک میدان عمومی با مشخصات اویلری F ( x , t ) به ما داده می شود. اکنون ممکن است در مورد نرخ کل تغییر F که توسط یک بسته جریان خاص تجربه می شود، سوال شود. این را می توان به صورت محاسبه کرد

${\frac {\mathrm {D} \mathbf {F} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}+\left( \mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {F}،$ که در آن ∇ عملگر nabla را نسبت به x نشان می دهد و عملگر u ⋅∇ باید برای هر جزء از F اعمال شود . این به ما می‌گوید که نرخ کل تغییر تابع F در حالی که بسته‌های سیال در یک میدان جریانی که با مشخصات اویلری u توصیف شده است، برابر است با مجموع نرخ تغییر محلی و نرخ همرفتی تغییر F. این یک نتیجه از قانون زنجیره است زیرا ما تابع F ( X ( x 0 , t ), t ) را با توجه به t متمایز می کنیم..

قوانین حفاظت برای یک واحد جرم دارای شکل لاگرانژی است که همراه با بقای جرم، بقای اویلری را ایجاد می کند. برعکس، وقتی ذرات سیال می توانند مقداری (مانند انرژی یا تکانه) را مبادله کنند، فقط قوانین بقای اویلری وجود دارد. [3]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی