• ​​

    ضرب اسکالر کلیفورد [ ویرایش ]

    وقتی مشخصه 2 نباشد، شکل درجه دوم Q روی V را می توان به شکل درجه دوم روی تمام Cl( V , Q ) (که با Q نیز نشان دادیم ) گسترش داد. یک تعریف مستقل از مبنا از یکی از این پسوندها است

    {\displaystyle Q(x)=\left\langle x^{\mathrm {t} }x\right\rangle _{0}}

    که در آن 〈 a 〉 0 قسمت اسکالر a (قسمت درجه-0 در درجه بندی Z ) را نشان می دهد. می توان آن را نشان داد

    {\displaystyle Q(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})\cdots Q(v_{k})}

    که در آن v i عناصر V هستند - این هویت برای عناصر دلخواه Cl( V , Q ) صادق نیست .

    شکل دوخطی متقارن مرتبط بر روی Cl( V , Q ) توسط داده می شود

    {\displaystyle \langle x,y\rangle =\left\langle x^{\mathrm {t} y\right\rangle _{0}.}

    می توان بررسی کرد که وقتی به V متناهی می شود، به شکل دوخطی اصلی کاهش می یابد . شکل دو خطی روی تمام کلر ( V , Q ) غیر دژنره است اگر و فقط اگر روی V غیر دژنره باشد.

    عملگر ضرب کليفورد چپ (به ترتيب راست) در جابجايي a t عنصر a ، ضميمه ضرب کليفورد چپ (به ترتيب راست) در a نسبت به اين حاصلضرب داخلي است. به این معنا که،

    {\displaystyle \langle ax,y\rangle =\left\langle x,a^{\mathrm {t} y\right\rangle ,}

    و

    {\displaystyle \langle xa,y\rangle =\left\langle x,ya^{\mathrm {t} }\right\rangle .}

    ساختار جبرهای کلیفورد [ ویرایش ]

    در این بخش فرض می کنیم که مشخصه 2 نیست، فضای برداری V بعد متناهی است و شکل دو خطی متقارن Q غیر منحط است.

    جبر ساده مرکزی روی K یک جبر ماتریسی روی یک جبر تقسیم (بعد متناهی) با مرکز K است. به عنوان مثال، جبرهای ساده مرکزی بر روی حقیقی ها، جبرهای ماتریسی بر روی حقیقی ها یا چهارتایی ها هستند.

    • اگر V بعد زوج داشته باشد ، Cl( V ، Q ) یک جبر ساده مرکزی روی K است.
    • اگر V بعد زوج داشته باشد، زیر جبر زوج Cl [0] ( V , Q ) یک جبر ساده مرکزی بر روی یک بسط درجه دوم K یا مجموع دو جبر ساده مرکزی هم شکل بر K است.
    • اگر V بعد فرد داشته باشد، Cl( V ، Q ) یک جبر ساده مرکزی بر روی یک بسط درجه دوم K یا مجموع دو جبر ساده مرکزی هم شکل بر K است.
    • اگر V بعد فرد داشته باشد، آنگاه زیر جبر زوج Cl [0] ( V , Q ) یک جبر ساده مرکزی روی K است.

    ساختار جبرهای کلیفورد را می توان با استفاده از نتیجه زیر به صراحت کار کرد. فرض کنید که U دارای بعد زوج و یک فرم دوخطی غیرمفرد با d متمایز است، و فرض کنید که V فضای برداری دیگری با شکل درجه دوم است. جبر کلیفورد U + V با حاصل ضرب تانسور جبرهای کلیفورد U و (-1) dim( U )/2 dV هم شکل است، که فضای V با شکل درجه دوم آن ضرب در (-1) dim( U ) است. )/2 د . بیش از حقیقیات، این به ویژه دلالت بر آن دارد

    {\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+2,q}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2}(\mathbf {R})\otimes \operatorname {Cl} _{q ,p}(\mathbf {R} )}

    {\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2}(\mathbf {R})\otimes \operatorname {Cl} _ {p,q}(\mathbf {R} )}

    {\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q+2}(\mathbf {R} )=\mathbf {H} \otimes \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbf {R}). }

    از این فرمول ها می توان برای یافتن ساختار تمام جبرهای کلیفورد حقیقی و جبرهای مختلط کلیفورد استفاده کرد. طبقه بندی جبرهای کلیفورد را ببینید .

    قابل توجه است که کلاس هم ارزی موریتا یک جبر کلیفورد (نظریه نمایش آن: کلاس هم ارزی دسته مدول ها روی آن) فقط به امضای ( p - q ) mod 8 بستگی دارد . این یک شکل جبری از تناوب بوت است.

    گروه لیپشیتز [ ویرایش ]

    کلاس گروه‌های لیپشیتز (با نام مستعار [15] گروه‌های کلیفورد یا گروه‌های کلیفورد–لیپسشیتز) توسط رودولف لیپشیتز کشف شد . [16]

    در این بخش فرض می کنیم که V بعد متناهی است و شکل درجه دوم Q غیر منحط است .

    یک عمل بر روی عناصر جبر کلیفورد توسط گروه واحدهای آن ممکن است بر حسب یک صرف پیچ خورده تعریف شود: صرف پیچ خورده توسط x نقشه های y ↦ α ( x ) y x -1 را نشان می دهد ، که در آن α چرخش اصلی تعریف شده در بالا است.

    گروه لیپ شیتز Γ به عنوان مجموعه ای از عناصر معکوس x تعریف می شود که مجموعه بردارها را تحت این عمل تثبیت می کند، [17] به این معنی که برای همه v در V داریم:

    {\displaystyle \alpha (x)vx^{-1}\in V.}

    این فرمول همچنین یک عمل از گروه لیپ شیتز را در فضای برداری V تعریف می کند که شکل درجه دوم Q را حفظ می کند و بنابراین یک هم شکلی از گروه لیپ شیتز به گروه متعامد می دهد. گروه لیپ شیتز شامل تمام عناصر r از V است که برای آنها Q ( r ) در K معکوس است ، و این عناصر با بازتاب های مربوطه روی V عمل می کنند که v را به v می رساند - (〈 r , v 〉 + 〈 v , r 〉) r / س ( ر ). (در مشخصه 2 اینها را برش های متعامد می نامند تا بازتاب.)

    اگر V یک فضای برداری حقیقی با ابعاد متناهی با فرم درجه دوم غیر منحط باشد، گروه لیپ شیتز با توجه به شکل (توسط قضیه Cartan-Dieudonné ) روی گروه متعامد V نگاشت می شود و هسته از عناصر غیر صفر تشکیل شده است. میدان K . این منجر به توالی های دقیق می شود

    {\displaystyle 1\rightarrow K^{\times }\rightarrow \Gamma \rightarrow {\mbox{O}}_{V}(K)\rightarrow 1,\,}

    {\displaystyle 1\rightarrow K^{\times }\rightarrow \Gamma ^{0}\rightarrow {\mbox{SO}}_{V}(K)\rightarrow 1.\,}

    در زمینه های دیگر یا با فرم های نامشخص، نقشه به طور کلی روی آن نیست و شکست توسط هنجار اسپینور ثبت می شود.

    هنجار اسپینور [ ویرایش ]

    اطلاعات بیشتر: هنجار اسپینور § گروه های همومولوژی و متعامد گالوا

    در مشخصه دلخواه، هنجار اسپینور Q در گروه لیپ شیتز توسط تعریف می شود

    {\displaystyle Q(x)=x^{\mathrm {t} }x.}

    این یک هممورفیسم از گروه لیپ شیتز به گروه K × از عناصر غیر صفر K است. زمانی که V با زیرفضای جبر کلیفورد شناسایی می شود، با شکل درجه دوم Q از V مطابقت دارد. چندین نویسنده هنجار اسپینور را کمی متفاوت تعریف می کنند، به طوری که با ضریب 1-، 2 یا 2- در Γ1 با هنجار اینجا متفاوت است . تفاوت در مشخصه غیر از 2 خیلی مهم نیست.

    عناصر غیرصفر K در گروه ( K × ) 2 مربع از عناصر غیر صفر میدان K ، هنجار اسپینور دارند . بنابراین وقتی V بعد متناهی و غیر منفرد است، یک نقشه القایی از گروه متعامد V به گروه K × /( K × ) 2 دریافت می کنیم که هنجار اسپینور نیز نامیده می شود. هنجار اسپینور بازتاب در مورد r ⊥ ، برای هر بردار r ، دارای تصویر Q ( r ) در K × /( K × ) 2 است.، و این ویژگی به طور منحصر به فرد آن را در گروه متعامد تعریف می کند. این توالی های دقیق را نشان می دهد:

    {\displaystyle {\begin{aligned}1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Pin}}_{V}(K)&\to {\mbox{O}}_{V}( K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},\\1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Spin}}_ {V}(K)&\to {\mbox{SO}}_{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2}.\ پایان{تراز شده}}}

    توجه داشته باشید که در مشخصه 2 گروه {±1} فقط یک عنصر دارد.

    از نقطه نظر هم‌شکلی گالوا گروه‌های جبری ، هنجار اسپینور یک هم‌مورفیسم پیوندی در هم‌شکلی است. نوشتن μ 2 برای گروه جبری ریشه های مربع 1 (در یک میدان مشخصه نه 2 تقریباً مشابه یک گروه دو عنصری با عمل گالوای بی اهمیت است)، دنباله دقیق کوتاه

    {\displaystyle 1\to \mu _{2}\rightarrow {\mbox{Pin}}_{V}\rightarrow {\mbox{O}}_{V}\rightarrow 1}

    یک توالی دقیق طولانی در همومولوژی به دست می دهد که آغاز می شود

    {\displaystyle 1\to H^{0}(\mu _{2};K)\to H^{0}({\mbox{Pin}}_{V};K)\to H^{0} ({\mbox{O}}_{V};K)\به H^{1}(\mu _{2};K).}

    0مین گروه هم‌شناسی گالوا از یک گروه جبری با ضرایب K فقط گروهی از نقاط با ارزش K است: H 0 ( G ؛ K ) = G ( K ) و H 1 (μ2 ؛ K ) ≅ K × /( K × ) 2 ، که دنباله قبلی را بازیابی می کند

    {\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Pin}}_{V}(K)\to {\mbox{O}}_{V}(K)\to K^{ \times }/\left(K^{\times }\right)^{2},}

    که در آن هنجار اسپینور هممورفیسم اتصال H 0 (O V ؛ K ) → H 1 (μ 2 ؛ K ) است.