دروازه های کلیفورد

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و یکم مرداد ۱۴۰۱ | 16:28

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در محاسبات کوانتومی و تئوری اطلاعات کوانتومی ، دروازه های کلیفورد عناصر گروه کلیفورد هستند ، مجموعه ای از تبدیل های ریاضی که بر جایگشت عملگرهای پائولی تأثیر می گذارد . این مفهوم توسط دانیل گوتسمن معرفی شد و به نام ریاضیدان ویلیام کینگدون کلیفورد نامگذاری شده است . [1] مدارهای کوانتومی که فقط از گیت های کلیفورد تشکیل شده اند را می توان به طور موثر با یک کامپیوتر کلاسیک به دلیل قضیه گوتسمن-کنیل شبیه سازی کرد .

فهرست

گروه کلیفورد [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

ماتریس های پائولی ،

$\sigma _{0}=I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad \sigma _{1}=X={\begin{bmatrix}0&1\\1&0 \end{bmatrix}}،\quad \sigma _{2}=Y={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}،{\text{ و }}\sigma _{3} =Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

مبنایی را برای عملگرهای چگالی یک کیوبیت منفرد و همچنین برای واحدهایی که می توان برای آنها اعمال کرد، فراهم می کند. برای{\displaystyle n} $n$ در حالت کیوبیت، می‌توان گروهی به نام گروه پائولی ساخت

$\mathbf {P} _{n}=\left\{e^{i\theta \pi /2}\sigma _{j_{1}}\otimes \cdots \otimes \sigma _{j_{n }}\mid \theta =0,1,2,3,j_{k}=0,1,2,3\right\}.$

گروه کلیفورد به عنوان گروهی از واحدهایی که گروه پائولی را عادی می کنند تعریف می شود: $\mathbf {C} _{n}=\{V\in U_{2^{n}}\mid V\mathbf {P} _{n}V^{\dagger }=\mathbf {P} _{n}\}.$ سپس دروازه های کلیفورد به عنوان عناصر گروه کلیفورد تعریف می شوند.

برخی از نویسندگان گروه کلیفورد را به عنوان گروه ضریب تعریف می کنند $\mathbf {C} _{n}/U(1)$ ، که عناصر را در آن شمارش می کند $\mathbf {C} _{n}$ که تنها با یک فاکتور فاز کلی به عنوان یک عنصر متفاوت هستند. برای $n=$ 1، 2 و 3، این گروه به ترتیب شامل 24، 11،520 و 92،897،280 عنصر می باشد. [2]

معلوم می شود [3] که گروه بهره $\mathbf {C} _{n}/\mathbf {P} _{n}$ هم شکل است $2n\times 2n$ ماتریس های symplectic Sp( 2n ) . در مورد یک کیوبیت، هر عنصر در ${\mathbf {C}}_{1}$ را می توان به عنوان یک محصول ماتریس بیان کرد ${\mathbf {A}}{\mathbf {B}}$ ، جایی که $\mathbf {A} \{I,V,W,H,HV,HW\}$ و $\mathbf {B} \in \mathbf {P} _{1}=\{I,X,Y,Z\}$ . اینجا $اچ$ دروازه هادامارد است، $اس$ دروازه فاز و $W=HS$ و $V=W^{\dagger }=HSHS$ محورها را به عنوان تعویض کنید $WXV=Y$ ، $WYV=Z$ و $WZV=X$ . برای دروازه های باقی مانده، $HV=R_{x}(-\pi /2)$ یک چرخش در امتداد محور x است، و $HW=S\sim R_{Z}(\pi /2)$ یک چرخش در امتداد محور z است.

ژنراتورها [ ویرایش ]

گروه کلیفورد توسط سه گیت هادامار ، S و CNOT تولید می شود. [4] از آنجایی که همه ماتریس‌های پائولی را می‌توان از دروازه‌های فاز S و هادامارد ساخت، هر دروازه پائولی نیز به‌طور بی‌اهمیت عنصری از گروه کلیفورد است.

این $Y$ دروازه برابر با حاصلضرب است $ایکس$ و $ز$ دروازه ها برای نشان دادن اینکه یک واحد است $U$ یکی از اعضای گروه کلیفورد است، نشان دادن آن برای همه کافی است $P\in \mathbf {P} _{n}$ که فقط از محصولات تانسور تشکیل شده است $ایکس$ و $ز$ ، ما داریم $UPU^{\dagger }\in \mathbf {P} _{n}$ .

دروازه هادامارد [ ویرایش ]

دروازه هادامارد

$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

عضو گروه کلیفورد به عنوان $HXH^{\dagger }=Z$ و $HZH^{\dagger }=X$ .

دروازه اس [ ویرایش ]

دروازه فاز

$S={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{ bmatrix}}={\sqrt {Z}}$

یک دروازه کلیفورد است به عنوان $SXS^{\dagger }=Y$ و $SZS^{\dagger }=Z$ .

دروازه CNOT [ ویرایش ]

گیت CNOT برای دو کیوبیت اعمال می شود. بین $ایکس$ و $ز$ چهار گزینه وجود دارد:

ترکیبات CNOT
$پ$	CNOT $پ$ CNOT $^{\dagger }$
$X\otime I$	$X\otime X$
$I\otime X$	$I\otime X$
$Z\otimes I$	$Z\otimes I$
$I\otime Z$	$Z\otime Z$

ویژگی ها و برنامه ها [ ویرایش ]

ترتیب دروازه های کلیفورد و دروازه های پائولی را می توان تعویض کرد. برای مثال، این را می توان با در نظر گرفتن عملگر زیر روی 2 کیوبیت نشان داد

$A=(X\otime Z)CZ$ .

ما آن را میدانیم: $CZ(X\otime I)CZ^{\dagger }=X\otimes Z$ . اگر از سمت راست در CZ ضرب کنیم

$CZ(X\otime I)=(X\otime Z)CZ$ .

بنابراین A معادل است

$A=(X\otime Z)CZ=CZ(X\otime I)$ .

شبیه سازی [ ویرایش ]

قضیه Gottesman–Knill بیان می‌کند که یک مدار کوانتومی با استفاده از عناصر زیر می‌تواند به طور موثر در یک کامپیوتر کلاسیک شبیه‌سازی شود:

آماده سازی کیوبیت ها در حالت های پایه محاسباتی،
دروازه های کلیفورد و
اندازه گیری در مبنای محاسباتی

قضیه Gottesman–Knill نشان می‌دهد که حتی برخی از حالت‌های بسیار درهم‌تنیده را می‌توان به طور موثر شبیه‌سازی کرد. چندین نوع مهم از الگوریتم‌های کوانتومی فقط از گیت‌های کلیفورد استفاده می‌کنند که مهم‌ترین آنها الگوریتم‌های استاندارد برای تقطیر درهم تنیدگی و تصحیح خطای کوانتومی است .

ساخت مجموعه ای جهانی از دروازه های کوانتومی [ ویرایش ]

دروازه های کلیفورد یک مجموعه جهانی از دروازه های کوانتومی را تشکیل نمی دهند زیرا همه دروازه ها اعضای گروه کلیفورد نیستند و برخی از دروازه ها را نمی توان به طور دلخواه با مجموعه ای محدود از عملیات تقریب زد. به عنوان مثال، گیت تغییر فاز (که از لحاظ تاریخی به آن معروف است $\pi /8$ دروازه):

$T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\sqrt {S}}={\sqrt[{ 4}]{Z}}$ .

برای نشان دادن اینکه $تی$ دروازه پائولی را ترسیم نمی کند $ایکس$ دروازه ای به ماتریس پائولی دیگر:

$TX{T^{\dagger }}=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{e^{i{\frac {\pi }{4} }}}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{ array}{*{20}{c}}1&0\\0&{e^{-i{\frac {\pi }{4}}}}\end{array}}\right]=\left[{\begin {array}{*{20}{c}}0&{e^{-i{\frac {\pi }{4}}}}\\{e^{i{\frac {\pi }{4}} }}&0\end{آرایه}}\right]\نه \در {{\mathbf {P} }_{1}}$

با این حال، گروه کلیفورد، هنگامی که با $تی$ گیت، یک مجموعه گیت کوانتومی جهانی را برای محاسبات کوانتومی تشکیل می دهد.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Clifford_gates

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی