نقاط منفرد منظم

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه یکم خرداد ۱۴۰۱ | 13:46

در ریاضیات ، در نظریه معادلات دیفرانسیل معمولی در صفحه مختلط $\mathbb{C}$ ، نکاتی از $\mathbb{C}$ به نقاط معمولی که در آن ضرایب معادله توابع تحلیلی هستند و نقاط منفرد که برخی از ضرایب دارای تکینگی هستند، طبقه بندی می شوند . سپس در میان نقاط منفرد، تمایز مهمی بین یک نقطه منفرد منظم ، که در آن رشد راه‌حل‌ها (در هر بخش کوچک) توسط یک تابع جبری محدود می‌شود، و یک نقطه منفرد نامنظم ، که در آن مجموعه کامل جواب‌ها به توابعی با رشد بالاتر نیاز دارد، ایجاد می‌شود. نرخ ها این تمایز، به عنوان مثال، بین معادله فرا هندسی ، با سه نقطه مفرد منتظم، و معادله بسل که به نوعی یک مورد محدود کننده است ، اما در جایی که خواص تحلیلی اساساً متفاوت است.

فهرست

تعاریف رسمی [ ویرایش ]

به طور دقیق تر، یک معادله دیفرانسیل خطی معمولی از مرتبه n را در نظر بگیرید

$\sum _{i=0}^{n}p_{i}(z)f^{(i)}(z)=0$

با p i ( z ) توابع مرومورفیک . می توان چنین فرض کرد

$p_{n}(z)=1.$

اگر اینطور نیست معادله بالا باید بر p n ( x ) تقسیم شود . این ممکن است نکات منحصر به فردی را برای در نظر گرفتن معرفی کند.

معادله باید بر روی کره ریمان مطالعه شود تا نقطه در بینهایت را به عنوان یک نقطه ممکن منفرد در بر گیرد. یک تبدیل موبیوس ممکن است برای حرکت ∞ به قسمت محدود صفحه مختلط در صورت لزوم اعمال شود، به مثال معادله دیفرانسیل بسل در زیر مراجعه کنید.

سپس روش فروبنیوس بر اساس معادله شاخص ممکن است برای یافتن راه‌حل‌های ممکن استفاده شود که سری توان بر توان مختلط ( z - a ) r نزدیک به a داده‌شده در صفحه مختلط هستند، جایی که r لازم نیست یک عدد صحیح باشد. این تابع ممکن است وجود داشته باشد، بنابراین، تنها به لطف یک برش شاخه ای که از یک یا روی سطح ریمان یک دیسک سوراخ شده در اطراف یک امتداد دارد. این هیچ مشکلی برای یک نقطه معمولی ایجاد نمی کند ( لازاروس فوکس 1866). زمانی که یکیک نقطه مفرد منظم است که در تعریف به این معنی است

$p_{ni}(z)$

حداکثر یک قطب نظم دارد ، روش فروبنیوس نیز می تواند کار کند و n راه حل مستقل در نزدیکی a ارائه کند.

در غیر این صورت نقطه a یک تکینگی نامنظم است . در این صورت، گروه تک‌درومی که راه‌حل‌ها را با استمرار تحلیلی مرتبط می‌کند، به‌طور کلی حرف کمتری برای گفتن دارد، و مطالعه راه‌حل‌ها سخت‌تر است، مگر از نظر بسط مجانبی آنها. بی نظمی یک تکینگی نامنظم با رتبه پوانکاره اندازه گیری می شود ( آرسکات (1995) ).

شرط نظم نوعی حالت چند ضلعی نیوتن است، به این معنا که قطب های مجاز در ناحیه ای قرار دارند که در برابر i رسم می شوند و با خطی در 45 درجه به محورها محدود می شوند.

یک معادله دیفرانسیل معمولی که تنها نقاط منفرد آن، از جمله نقطه در بی نهایت، نقاط منفرد منظم هستند، فوشین نامیده می شود.معادله دیفرانسیل معمولی

نمونه هایی برای معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم [ ویرایش ]

در این حالت معادله بالا به:

$f''(x)+p_{1}(x)f'(x)+p_{0}(x)f(x)=0.$

یکی موارد زیر را متمایز می کند:

نقطه a یک نقطه معمولی است زمانی که توابع p 1 ( x ) و p 0 ( x ) در x = a تحلیلی باشند .
نقطه a یک نقطه مفرد منظم است اگر p 1 ( x ) دارای قطب تا مرتبه 1 در x = a و p 0 دارای قطب تا 2 در x = a باشد .
در غیر این صورت نقطه a یک نقطه مفرد نامنظم است .

ما می توانیم با استفاده از جایگزینی بررسی کنیم که آیا یک نقطه مفرد نامنظم در بی نهایت وجود دارد یا خیر $w=1/x$ و روابط:

${\frac {df}{dx}}=-w^{2}{\frac {df}{dw}}$

${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}=w^{4}{\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+2w^ {3}{\frac {df}{dw}}$

بنابراین می توانیم معادله را به یک معادله در w تبدیل کنیم و بررسی کنیم که در w = 0 چه اتفاقی می افتد . اگر $p_{1}(x)$ و $p_{2}(x)$ ضریب چندجمله ای هستند، پس یک نقطه مفرد نامنظم در x بی نهایت وجود خواهد داشت مگر اینکه چند جمله ای در مخرج $p_{1}(x)$ درجه حداقل یک بیشتر از درجه صورتگر و مخرج آن است $p_{2}(x)$ درجه حداقل دو بیشتر از درجه صورتگر آن است.

در زیر چندین مثال از معادلات دیفرانسیل معمولی از فیزیک ریاضی آمده است که دارای نقاط منفرد و راه حل های شناخته شده هستند.

معادله دیفرانسیل بسل [ ویرایش ]

این یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه دوم است. در حل معادله لاپلاس در مختصات استوانه ای یافت می شود :

$x^{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+x{\frac {df}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^ {2})f=0$

برای یک عدد واقعی یا مختلط دلخواه α ( ترتیب تابع بسل ). رایج ترین و مهم ترین مورد خاص جایی است که α یک عدد صحیح n است.

از تقسیم این معادله بر x ^2 به دست می آید:

${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {df}{dx}}+\left(1-{ \frac {\alpha ^{2}}{x^{2}}}\right)f=0.$

در این مورد p 1 ( x ) = 1 / x دارای قطب درجه اول در x = 0 است. وقتی α ≠ 0 , p 0 ( x ) = (1 - α ^2 / x ^2 ) دارای قطب درجه دوم در x = 0 است. بنابراین این معادله دارای یک تکینگی منظم در 0 است.

برای اینکه ببینیم وقتی x ∞ ∞ چه اتفاقی می افتد باید از تبدیل موبیوس استفاده کرد ، برای مثال $x=1/w$ . پس از انجام جبر:

${\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+{\frac {1}{w}}{\frac {df}{dw}}+\left[{\frac {1}{w^{4}}}-{\frac {\alpha ^{2}}{w^{2}}}\right]f=0$

اکنون در $w = 0$ ،

$p_{1}(w)={\frac {1}{w}}$

دارای یک قطب درجه یک است، اما

$p_{0}(w)={\frac {1}{w^{4}}}-{\frac {\alpha ^{2}}{w^{2}}}$

دارای یک قطب درجه چهارم است. بنابراین، این معادله دارای یک تکینگی نامنظم در $w = 0$ مربوط به x در ∞ است.

معادله دیفرانسیل لژاندر [ ویرایش ]

این یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه دوم است. در حل معادله لاپلاس در مختصات کروی یافت می شود :

${\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}f\right]+l(l+1)f=0.$

باز کردن براکت نشان می دهد:

$\left(1-x^{2}\right){d^{2}f \over dx^{2}}-2x{df \over dx}+l(l+1)f=0.$

و تقسیم بر (1 - x^ 2 ) :

${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-{\frac {2x}{1-x^{2}}}{\frac {df}{dx}}+ {\frac {l(l+1)}{1-x^{2}}}f=0.$

این معادله دیفرانسیل دارای نقاط منفرد منظم در 1± و ∞ است.

معادله دیفرانسیل هرمیت [ ویرایش ]

در حل معادله شرودینگر مستقل از زمان یک بعدی با این معادله دیفرانسیل مرتبه دوم معمولی مواجه می شود.

$E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi$

برای یک نوسان ساز هارمونیک در این حالت انرژی پتانسیل V ( x ) برابر است با:

$V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.$

این منجر به معادله دیفرانسیل مرتبه دوم زیر می شود:

${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-2x{\frac {df}{dx}}+\lambda f=0.$

این معادله دیفرانسیل دارای یک تکینگی نامنظم در ∞ است. راه حل های آن چند جمله ای هرمیت است .

معادله فرا هندسی [ ویرایش ]

معادله ممکن است به صورت تعریف شود

$z(1-z){\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {df {dz}}-abf=0.$

تقسیم هر دو ضلع بر z (1 − z ) به دست می آید:

${\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+{\frac {c-(a+b+1)z}{z(1-z)}}{\frac {df}{dz}}-{\frac {ab}{z(1-z)}}f=0.$

این معادله دیفرانسیل دارای نقاط منفرد منظم در 0، 1 و ∞ است. یک راه حل تابع ابر هندسی است .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_singular_point

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی