4-سری تیلور

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه یکم اردیبهشت ۱۴۰۱ | 13:13

محاسبه سری تیلور [ ویرایش ]

چندین روش برای محاسبه سری تیلور از تعداد زیادی توابع وجود دارد. می توان سعی کرد از تعریف سری تیلور استفاده کرد، اگرچه این اغلب مستلزم تعمیم شکل ضرایب بر اساس یک الگوی آشکار است. به‌علاوه، می‌توان از دستکاری‌هایی مانند جایگزینی، ضرب یا تقسیم، جمع یا تفریق سری‌های استاندارد تیلور برای ساخت سری تیلور یک تابع استفاده کرد، زیرا سری تیلور سری‌های توانی است. در برخی موارد، می توان سری تیلور را با اعمال مکرر ادغام توسط قطعات استخراج کرد. استفاده از سیستم های جبر رایانه ای برای محاسبه سری های تیلور بسیار راحت است .

مثال اول [ ویرایش ]

به منظور محاسبه چند جمله ای ماکلورین درجه 7 برای تابع

$f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right )$ ،

می توان ابتدا تابع را به صورت بازنویسی کرد

$f(x)=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\!$ .

سری تیلور برای لگاریتم طبیعی است (با استفاده از نماد O بزرگ )

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{O}\left(x ^{4}\راست)\!$

و برای تابع کسینوس

$\cos x-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}} {720}}+{O}\left(x^{8}\right)\!$ .

بسط سری دوم دارای یک جمله ثابت صفر است که ما را قادر می سازد سری دوم را با سری اول جایگزین کنیم و با استفاده از علامت O بزرگ به راحتی از عبارت های مرتبه بالاتر از درجه 7 حذف کنیم :

${\begin{aligned}f(x)&=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\\&=(\cos x-1)-{\ tfrac {1}{2}}(\cos x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(\cos x-1)^{3}+{O}\left((\ cos x-1)^{4}\right)\\&=\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}- {\frac {x^{6}}{720}}+{O}\left(x^{8}\right)\right)-{\frac {1}{2}}\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{O}\left(x^{6}\right)\right)^{2}+{ \frac {1}{3}}\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+O\left(x^{4}\right)\right)^{3}+{O }\left(x^{8}\right)\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}-{\frac {x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{48}}-{\frac {x^{6 }}{24}}+O\left(x^{8}\right)\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{ 12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O\left(x^{8}\right).\end{تراز شده}}\!$

از آنجایی که کسینوس یک تابع زوج است، ضرایب برای تمام توان های فرد x , x 3 , x 5 , x 7 , ... باید صفر باشد.

مثال دوم [ ویرایش ]

فرض کنید می خواهیم سری تیلور در 0 تابع باشد

$g(x)={\frac {e^{x}}{\cos x}}.\!$

ما برای تابع نمایی داریم

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2} {2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \!$

و مانند مثال اول،

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \!$

فرض کنید سری قدرت است

${\frac {e^{x}}{\cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3} +\cdots \!$

سپس ضرب با مخرج و جایگزینی سری کسینوس حاصل می شود

${\begin{aligned}e^{x}&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+ \cdots \right)\cos x\\&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4} x^{4}+\cdots \right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)\\&=c_{0}-{\frac {c_{0}}{2}}x^{2}+{\frac {c_{0}}{4!}}x^{4} +c_{1}x-{\frac {c_{1}}{2}}x^{3}+{\frac {c_{1}}{4!}}x^{5}+c_{2} x^{2}-{\frac {c_{2}}{2}}x^{4}+{\frac {c_{2}}{4!}}x^{6}+c_{3}x ^{3}-{\frac {c_{3}}{2}}x^{5}+{\frac {c_{3}}{4!}}x^{7}+c_{4}x^ {4}+\cdots \end{aligned}}\!$

جمع آوری شرایط تا مرتبه چهارم بازده

$e^{x}=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{\frac {c_{0}}{2}}\right)x^{2}+\ چپ(c_{3}-{\frac {c_{1}}{2}}\right)x^{3}+\left(c_{4}-{\frac {c_{2}}{2}} +{\frac {c_{0}}{4!}}\right)x^{4}+\cdots \!$

ارزش های $ج_{i}$ می توان با مقایسه ضرایب با عبارت بالا برای یافت $e^{x}$ ، بازده:

${\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{\frac {2x^{3}}{3}}+{\frac {x ^{4}}{2}}+\cdots .\!$

مثال سوم [ ویرایش ]

در اینجا ما از روشی به نام "گسترش غیر مستقیم" برای گسترش تابع داده شده استفاده می کنیم. این روش از بسط تیلور شناخته شده تابع نمایی استفاده می کند. برای بسط (1 + x ) e x به عنوان یک سری تیلور در x ، از سری شناخته شده تیلور تابع e x استفاده می کنیم :

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2} }{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots .$

بدین ترتیب،

${\begin{aligned}(1+x)e^{x}&=e^{x}+xe^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac { x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}=1+\sum _{n =1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{ n!}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=1}^{\ infty }{\frac {x^{n}}{(n-1)!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n!} }+{\frac {1}{(n-1)!}}\right)x^{n}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+ 1}{n!}}x^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}.\end {هم راستا}}$

مجموعه تیلور به عنوان تعاریف [ ویرایش ]

به طور کلاسیک، توابع جبری با یک معادله جبری تعریف می شوند، و توابع ماورایی (از جمله آنهایی که در بالا مورد بحث قرار گرفت) با ویژگی هایی مانند یک معادله دیفرانسیل تعریف می شوند. به عنوان مثال، تابع نمایی تابعی است که در همه جا با مشتق خود برابر است و در مبدا مقدار 1 را در نظر می گیرد. با این حال، می توان به همان اندازه یک تابع تحلیلی را با سری تیلور آن تعریف کرد.

سری تیلور برای تعریف توابع و " عملگرها " در حوزه های مختلف ریاضیات استفاده می شود. به ویژه، این امر در مناطقی که تعاریف کلاسیک توابع شکسته می شوند صادق است. به عنوان مثال، با استفاده از سری تیلور، می‌توان توابع تحلیلی را به مجموعه‌ای از ماتریس‌ها و عملگرها، مانند لگاریتم ماتریس نمایی یا ماتریس تعمیم داد .

در زمینه های دیگر، مانند تجزیه و تحلیل رسمی، راحت تر است که به طور مستقیم با خود سری های قدرت کار کنید. بنابراین می توان راه حل یک معادله دیفرانسیل را به عنوان یک سری توانی تعریف کرد که امیدواریم ثابت شود سری تیلور راه حل مورد نظر است.

سری تیلور در چندین متغیر [ ویرایش ]

سری تیلور همچنین ممکن است به توابع بیش از یک متغیر با [13] [14] تعمیم داده شود.

${\begin{aligned}T(x_{1},\ldots,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{ d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d }}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_ {1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=f( a_{1},\ldots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\ x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1} ^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j} -a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\ x_{j}\جزئی x_{k}\جزئی x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l })+\cdots \end{تراز شده}}$

به عنوان مثال، برای یک تابع $f(x,y)$ که به دو متغیر x و y بستگی دارد ، سری تیلور به مرتبه دوم در مورد نقطه ( a , b ) است.

$f(a,b)+(xa)f_{x}(a,b)+(yb)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(xa)^{2}f_{xx}(a,b)+2(xa)(yb)f_{xy}(a,b)+(yb)^{2}f_{yy}(a, ب){\بزرگ)}$

که در آن زیرنویس ها مشتقات جزئی مربوطه را نشان می دهند .

یک بسط مرتبه دوم سری تیلور از یک تابع با مقدار اسکالر بیش از یک متغیر را می توان به صورت فشرده نوشت:

$T(\mathbf {x})=f(\mathbf {a})+(\mathbf {x} -\mathbf {a})^{\mathsf {T}}Df(\mathbf {a}) +{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a}) \right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots ,$

که در آن D f ( a ) گرادیان f است که با x = a ارزیابی می شود و D 2 f ( a ) ماتریس هسین است . با اعمال نماد چند شاخص ، سری تیلور برای چندین متغیر تبدیل می شود

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a})^{\alpha }}{\alpha !}}\left({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}f\right)(\mathbf {a})$

که باید به عنوان یک نسخه اختصاری چند شاخصه از معادله اول این پاراگراف، با تشبیه کامل به حالت تک متغیر درک شود.

مثال [ ویرایش ]

تقریب مرتبه دوم سری تیلور (به رنگ نارنجی) تابع f ( x , y ) = e x ln(1 + y ) در اطراف مبدا.

به منظور محاسبه بسط سری تیلور مرتبه دوم حول نقطه ( a , b ) = (0, 0) تابع

$f(x,y)=e^{x}\ln(1+y),$

ابتدا تمام مشتقات جزئی لازم را محاسبه می کند:

${\begin{aligned}f_{x}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{y}&={\frac {e^{x}}{1 +y}}\\[6pt]f_{xx}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{yy}&=-{\frac {e^{x}}{ (1+y)^{2}}}\\[6pt]f_{xy}&=f_{yx}={\frac {e^{x}}{1+y}}.\end{تراز شده}}$

ارزیابی این مشتقات در مبدا، ضرایب تیلور را به دست می دهد

${\begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0\\f_{y}(0,0)&=1\\f_{xx}(0,0)&=0\ \f_{yy}(0,0)&=-1\\f_{xy}(0,0)&=f_{yx}(0,0)=1.\end{تراز شده}}$

جایگزینی این مقادیر به فرمول کلی

${\begin{aligned}T(x,y)=&f(a,b)+(xa)f_{x}(a,b)+(yb)f_{y}(a,b)\\ &{}+{\frac {1}{2!}}\left((xa)^{2}f_{xx}(a,b)+2(xa)(yb)f_{xy}(a,b )+(yb)^{2}f_{yy}(a,b)\right)+\cdots \end{تراز شده}}$

تولید می کند

${\begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\Big (}0( x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{\Big )}+\cdots \\&=y+xy- {\frac {y^{2}}{2}}+\cdots \end{aligned}}$

از آنجایی که ln(1 + y ) در | y | < 1 ، ما داریم

$e^{x}\ln(1+y)=y+xy-{\frac {y^{2}}{2}}+\cdots ,\qquad |y|<1.$

مقایسه با سری فوریه [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: سری فوریه

سری فوریه مثلثاتی فرد را قادر می سازد تا یک تابع تناوبی (یا تابعی که در بازه بسته [ a , b ] تعریف شده است ) را به عنوان مجموع نامتناهی از توابع مثلثاتی ( سینوس ها و کسینوس ها ) بیان کند. از این نظر، سری فوریه مشابه سری تیلور است، زیرا دومی به فرد اجازه می دهد تا یک تابع را به عنوان مجموع بی نهایت توان بیان کند . با این وجود، این دو سریال در چندین موضوع مرتبط با یکدیگر تفاوت دارند:

برش های محدود سری تیلور از f ( x ) در مورد نقطه x = a همگی دقیقاً برابر با f در a هستند. در مقابل، سری فوریه با ادغام در یک بازه کامل محاسبه می‌شود، بنابراین به طور کلی چنین نقطه‌ای وجود ندارد که تمام برش‌های محدود سری دقیق باشند.
محاسبه سری تیلور به دانش تابع در یک همسایگی کوچک دلخواه یک نقطه نیاز دارد، در حالی که محاسبه سری فوریه مستلزم دانستن تابع در کل بازه دامنه آن است . به تعبیری می توان گفت که سریال تیلور «محلی» و سری فوریه «جهانی» است.
سری تیلور برای تابعی تعریف می شود که مشتقات بی نهایت زیادی در یک نقطه دارد، در حالی که سری فوریه برای هر تابع انتگرال پذیر تعریف می شود . به طور خاص، این تابع هیچ جا قابل تمایز نیست. (به عنوان مثال، f ( x ) می تواند یک تابع وایرشتراس باشد .)
همگرایی هر دو سری خواص بسیار متفاوتی دارد. حتی اگر سری تیلور دارای شعاع همگرایی مثبت باشد، ممکن است سری حاصل با تابع منطبق نباشد. اما اگر تابع تحلیلی باشد، سری به صورت نقطه ای به تابع همگرا می شود، و به طور یکنواخت در هر زیر مجموعه فشرده بازه همگرایی . در مورد سری فوریه، اگر تابع مربع انتگرال پذیر باشد، سری در میانگین درجه دوم همگرا می شود ، اما الزامات اضافی برای اطمینان از همگرایی نقطه ای یا یکنواخت مورد نیاز است (به عنوان مثال، اگر تابع تناوبی و از کلاس C 1 باشد، پس همگرایی لباس فرم).
در نهایت، در عمل می‌خواهیم تابع را با تعداد محدودی از جمله‌ها، مثلاً با چند جمله‌ای تیلور یا مجموع جزئی سری مثلثاتی، تقریب بزنیم. در مورد سری تیلور، خطا در همسایگی نقطه ای که محاسبه می شود بسیار کوچک است، در حالی که ممکن است در یک نقطه دور بسیار بزرگ باشد. در مورد سری فوریه، خطا در امتداد دامنه تابع توزیع می شود.

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی