از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد
نظریه اعداد متعارف ، شاخه ای از نظریه اعداد است که اعداد متعارف (اعداد که راه حل های معادله چند جمله ای با ضرایب عدد صحیح نیستند )، در هر دو روش کیفی و کمی بررسی می شود.
فهرست
ترانسدانت [ ویرایش ]
مقاله اصلی: شماره ترانسدادنت
قضیه اساسی جبر به ما می گوید که اگر ما یک غیر صفر چند جمله ای با ضرایب عدد صحیح پس از آن که چند جمله ای یک ریشه در دارند اعداد مختلط . بدین معنی است که برای هر چندجمله ای Pبا ضرایب عدد صحیح، یک عدد پیچیده α وجود دارد به طوری که P (α) = 0. نظریه متعارف مربوط به سوال متقابل است: با توجه به تعداد پیچیده α، یک چندجمله P با ضرایب عدد صحیحی وجود دارد که P (α) = 0 اگر چنین چند جملهای وجود نداشته باشد، این عدد به معنای متعالی است.
به طور کلی این نظریه به استقلال جبری اعداد مربوط می شود. مجموعه ای از اعداد {α 1 ، α 2 ، ...، α n } به صورت جبری مستقل در یک میدان K نامیده می شود، اگر هیچ چندجمله ای غیر صفرP در n متغیر با ضرایب K وجود ندارد به طوری که P (α 1 ، α 2 ، ...، α N ) = 0. بنابراین کار کردن اگر یک عدد داده شده متعالی است که واقعا یک مورد خاص از استقلال جبری که در آن N = 1 و زمینه K است درست منطقی .
یک مفهوم مرتبط این است که آیا یک عبارت فرم بسته بسته برای یک عدد وجود دارد، از نمایی و لگاریتم و همچنین عملیات جبری. تعاریف مختلفی از "فرم بسته" وجود دارد، و سوالاتی در مورد فرم بسته، اغلب می تواند به سوالاتی در مورد فراموشی محدود شود.
تاریخچه [ ویرایش ]
تقریب اعداد عقلانی: لیوویل به روت [ ویرایش ]
استفاده از اصطلاح متعالی برای اشاره به یک شی است که نمی تاریخ جبری به قرن هفدهم، که گوتفرید لایبنیتس ثابت کرد که تابع مثلثاتی بود نه تابع جبری . [1] سوال این است که آیا طبقات خاصی از اعداد میتوانند فراتر از تعاریف باشند، به 1748 میرسند [2] وقتی اولر ادعا کرد [3] که تعداد log a b برای اعداد عقلانی a و b به صورت جبری نیست ، b است که از فرم b نیست = a cبرای برخی از منطقی ج .
ادعای اولر تا قرن بیستم ثابت نشده است، اما تقریبا صد سال پس از ادعای وی، جوزف لیوویل موفق به اثبات وجود اعداد است که جبری نیستند، چیزی که تا آن زمان به درستی شناخته نشده بود. مقالات اصلی او در مورد این مسئله در دهه 1840، استدلال هایی را با استفاده از تقسیمات ادامه داد تا اعداد متعالی را ساختند. بعدها، در دهه 1850، او شرایط لازم را برای یک عدد به جبری داد و به همین ترتیب شرایط کافی برای یک عدد متعالی بود. [4] این معیار متعقب به اندازه کافی قوی نبود که لازم باشد، و در واقع نمیتواند تشخیص دهد که عدد eمتعالی است اما کار او کلاس بزرگتری از اعداد متعالی را فراهم کرد، که در حال حاضر به عنوان عدد لیوویل به افتخار او شناخته شده است .
معیار لیوویل اساسا گفت که اعداد جبری نمیتواند به خوبی با اعداد منطقی تقریبآور شود. بنابراین اگر یک عدد بتواند به خوبی با اعداد منطقی تقریب برسد، آن باید فراتر از حد متعال باشد. معنای دقیق "خیلی خوب تقریبی" در کار لیوویل مربوط به یک نماینده خاص است. او نشان داد که اگر α یک درجه جبری درجه d ≥ 2 و هر عدد بیشتر از صفر است، آن عبارت
تنها تعداد محدودی از عقلانی p / q راضی می شود . با استفاده از این به عنوان یک معیار برای تعالی، بی اهمیت نیست، زیرا باید بررسی کنید که آیا برای هر d ≥ 2 راه حل بی نهایت برای p / qوجود دارد .
در کار قرن بیستم با الکس Thue ، [5] کارل سایگل ، [6] و کلاوس رود[7] توان در کار لیوویل از کاهش د ε به د / 2 1 ε، و در نهایت، در سال 1955، به 2 ε. این نتیجه، به عنوان قضیه تو-سایگل-رود شناخته شده است ، ظاهرا بهترین ممکن است، زیرا اگر عدد 2 ε با فقط 2 جایگزین شود، نتیجه دیگر درست نیست. با این حال، سرگ لانگ پیش بینی پیشرفت نتیجه Roth؛ به ویژه او فرض کرد که q 2 ε در مخرج سمت راست می تواند به q 2 log ( q) 1 ε .
کار روث به طور موثری کار را که توسط لیوویل آغاز شد، پایان داد و قضیه او به ریاضیدانان اجازه داد تا اثبات فراوانی بسیاری از اعداد بیشتر، مانند ثابت Champernowne . با این وجود، قضیه هنوز به اندازه کافی قوی نیست که بتواند تمام اعداد متعالی را شناسایی کند، و بسیاری از ثابتهای معروف از جمله e و π یا در معنی فوق نمی دانند یا به خوبی قابل تقلیل هستند. [8]
توابع کمکی: هرمیت بکر [ ویرایش ]
خوشبختانه روشهای دیگر در قرن نوزدهم برای مقابله با خواص جبری e و در نتیجه π از طریق هوستر اویلر پیشگام شدند . این کار بر استفاده از عملکرد به اصطلاح کمکی متمرکز است . اینها توابعهستند که معمولا در نقاط مورد نظر در تعداد زیادی صفر هستند. در اینجا "بسیاری از صفر" ممکن است به معنی بسیاری از صفر متمایز، و یا به عنوان چند به عنوان یک صفر اما با بالا تعدد ، و یا حتی بسیاری از صفر همه، با تعدد بالا. چارلز هرمیت از توابع کمکی استفاده کرد که توابع و kx را برای هر عدد طبیعی k تقریبا به منظور اثبات تعالیالکترونیکی در سال 1873. [9] کار خود را بر ساخته شد فردیناند فون لیندپمن در 1880s [10] به منظور ثابت کند که E α متعالی برای اعداد غیر صفر جبری آلفا. به طور خاص این ثابت کرد که π فراتر از آن است که e π i جبری است و بنابراین منفی مسأله عتیقه در مورد این که آیا این امکان وجود دارد که مربع دایره باشد جواب داد . کارل وایرستراس کار خود را هنوز ادامه داد و در نهایت قضیه لیندنمان و ویرشترس را در سال 1885 ثابت کرد. [11]
در سال 1900 دیوید هیلبرت مجموعه معروف خود را از مشکلات ارائه داد . هفتم از این ، و یکی از سخت ترین در برآورد هیلبرت، در مورد برتری از تعداد فرم خواسته ب که در آن و ب جبری هستند، است صفر یا یک، و ب غیر منطقی است. در سال های 1930، الکساندر گلفوند [12] و تئودور اسنایدر [13] ثابت کردند که همه چنین تعداد در واقع با استفاده از یک تابع کمکی غیر صریح که متعلق به لژیانه سیگل بود، به طور تعجب آور بود . این نتیجه،قضیه گلفوند-اشنایدر ، اثبات تعادل اعداد مانند e π و ثابت گلفوند-اشنایدر .
نتیجه بزرگ بعدی در این زمینه در دهه 1960 اتفاق افتاد، زمانی که آلن بیکر پیشرفتی را در مورد مشکل گلفوند در فرم های خطی در لگاریتم ها انجام داد . خود گلفوند توانست کمترین حد پایین را برای کمیت پیدا کند
جایی که همه چهار ناشناخته جبری هستند، αs که نه صفر و نه و βs غیر منطقی است. با این حال، پیدا کردن مرزهای مشابه مشابه برای مجموع سه یا چند لگاریتم، گلفوند را از بین برد. اثبات قضیه بیکر حاوی محدودیت هایی است که حل مسئله شماره کلاس گاوس برای کلاس اول در روند است. این کار برای استفاده از آن در حل معادلات دیوفاتن، مدال Baker فیلدرا به دست آورد . از یک دیدگاه نظری تعداد عاملی کاملا بنیادی، بیکر ثابت کرده است که اگر α 1 ، ...، α n اعداد جبری باشند، هیچ یک از آنها صفر یا یک و β 1 ، ...، β n اعداد جبری مانند 1، β 1 ، ...، βn براساساعداد منطقیبه صورت خطی مستقل است و سپس تعداد آن است
متعالی است [14]
تکنیک های دیگر: کانتور و زیلبر [ ویرایش ]
در دهه 1870، گرنت کانتور شروع به توسعه نظریه مجموعه کرد و در سال 1874 یک مقاله را به اثبات رساند که اعداد جبری را می توان به صورت یک به یک با مجموعه ای از اعداد طبیعی قرار داد و به این ترتیب مجموعه اعداد متعال باید شود غیر قابل شمارش . [15] بعدا، در سال 1891، کانتور از استدلال مرسوم آشنا بیشتر برای اثبات نتایج مشابه استفاده کرد. [16] در حالی که نتیجه کانتور اغلب به عنوان صرفا موجودی و به این ترتیب برای ساخت یک عدد متعالی، غیر قابل استفاده است، [17] [18]شواهد موجود در هر دو مقاله فوق به روش های ساخت اعداد متعالی می پردازند. [19]
در حالی که کانتور از نظریه مجموعه برای اثبات فراوانی اعداد متعالی استفاده کرده است، توسعه اخیر، استفاده از نظریه مدل در تلاش برای ثابت کردن یک مشکل حل نشده در نظریه اعداد متعال است.مشکل این است که تعیین درجه فرامنطقه میدان
برای اعداد پیچیده x 1 ، ...، x n که به صورت خطی مستقل از اعداد منطقی هستند. استفان اجانوئلحدس زده که جواب این است حداقل N ، اما هیچ مدرک شناخته شده است. در سال 2004،بوريس زيلبر مقاله اي را چاپ كرد كه از تكنيك هاي نظري مدل براي ساختن ساختار استفاده مي كرد كه بسيار شبيه به تعداد پيچيده اي است كه با عملكرد افزودن، ضرب كردن و انعكاس، عمل مي كند.علاوه بر این، در این ساختار انتزاعی فرضیهاجانوئل واقعا وجود دارد. [20] متاسفانه هنوز مشخص نشده است که این ساختار در حقیقت همان عدد پیچیده با عملیات ذکر شده است. ممکن است فرضیه اجانوئلl نامعلوم باشد و برخی از ساختار انتزاعی دیگری وجود دارد که رفتار بسیار مشابهی با اعداد پیچیده دارد، اما در مورد فرضیه اجانوئل. زیلبر معیارهای متعددی را ارائه داد که می توانست ثابت کند ساختار مورد نظر C بود ، اما نمی توانست به اصطلاح معیار انحصاری نمایشگر شدید اثبات کند. ساده ترین مورد از این اصل تا به امروز ثابت شده است، [21] اما اثبات آن است که آن را در عمق کامل مورد نیاز برای تکمیل اثبات حدس.
رویکردها [ ویرایش ]
یک مشکل معمول در این زمینه ریاضیات این است که آیا یک شماره داده شده متعالی باشد یا خیر. کانتور از یک استدلال قدرتمندی استفاده کرد تا نشان دهد که تنها شمارا شمارش جبری جسمی وجود دارد و از این رو تقریبا همه اعداد متعالی هستند. به این ترتیب، مقادیر متعارف، موارد معمول را نشان می دهند. حتی ممکن است اثبات کند که یک عدد معین متعالی است (یا حتی غیرعقلایی)، بسیار دشوار است.
به همین علت نظریه متعالیه اغلب به رویکرد کمی بیشتر عمل می کند. بنابراین با توجه به تعداد پیچیده ای α می توان از چگونگی نزدیک بودن α به یک عدد جبری استفاده کرد. به عنوان مثال، اگر فرض شود که عدد α جبری است، می تواند نشان دهد که باید درجه بسیار بالایی داشته باشد یا حداقل چندجمله ای با ضرایب بسیار بزرگ؟ در نهایت اگر ممکن است نشان دهیم که هیچ درجه محدود یا اندازه ضریب کافی نیست، این عدد باید فراتر از حد باشد. از آنجایی که عدد α فوق العاده است اگر و فقط اگر P (α) ≠ 0 برای هر چندجملهای غیر صفر P با ضرایب عدد صحیح، این مشکل را می توان با تلاش برای پیدا کردن معیارهای پایین تر از فرم
که در آن به سمت راست برخی از عملکرد مثبت بسته به برخی از اندازه گیری است از اندازه از ضرایب از P ، و آن درجه د ، و به طوری که این کران پایین به همه اعمال P ≠ 0. چنین محدود است که به نام اندازه گیری تعالی .
در مورد d = 1، تقریب "کلاسیک" دیوفانتین با درخواست مرزهای پایین برای
روش های تئوری تعالی و تقریب دیوفانتین بسیار مشترک هستند: آنها هر دو از مفهوم تابع کمکی استفاده می کنند .
نتایج عمده [ ویرایش ]
قضیه گلفوند-اشنایدر پیشرفت عمده ای در نظریه تعالی در دوره 1900-1950 بود. در 1960s روش آلن بیکر در اشکال خطی در لگاریتم از اعداد جبری بازگشت از دنیای مردگان نظریه تعالی، با برنامه های کاربردی به مشکلات کلاسیک متعدد و معادلات سیاله .
مشکلات باز [ ویرایش ]
در حالی که قضیه گلفوند-اشنایدرثابت کرد که یک کلاس بزرگ از اعداد فوق العاده بود، این کلاس هنوز قابل شمارش بود. بسیاری از ثابت های ریاضی به خوبی شناخته شده هنوز شناخته شده نیستند و در برخی موارد حتی شناخته نمی شوند که آیا آنها منطقی یا غیر منطقی هستند. لیست جزئی در اینجا می توانید پیدا کنید .
یک مشکل عمده در نظریه متعال، نشان دادن آن است که یک مجموعه خاص از اعداد به طور جبری مستقل است، نه فقط نشان دادن اینکه عناصر فردی متعالی هستند. بنابراین، در حالیکه می دانیم که eو π متعلق به فراموشی هستند که به این معنی نیست که e π فراتر از عبارات و ترکیبات دیگر این دو است (به غیر از e π ، ثابت گلفوند که شناخته شده به فراموشی است). یکی دیگر از مشکلات عمده این است که با اعداد مربوط به عملکرد نمایشی برخورد می شود. نتایج اصلی در نظریه متعال، تمایل به چرخش در اطراف e دارند و تابع لگاریتم است که به این معنی است که روشهای کاملا جدیدی برای مقابله با اعداد است که نمیتوان از طریق این دو عنصر به صورت ابتدایی بیان کرد.
فرضیه اجانوئل اولین مسئله ی این مشکلات را تا حدی حل می کند که به استقلال جبری مربوط می شود و حقیقتا تایید می کند که e π متعالی است. با این حال، هنوز هم در اطراف تابع نمایشی حرکت می کند و بنابراین لزوما با تعداد هایی مانند ثابت آپیر یا ثابت یولر- ماسکرانی ارتباط ندارد . یکی دیگر از مشکل بسیار حل نشده مشکل به اصطلاح ثابت یا هویت است . [22]
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.