توپولوژی ضرب

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و پنجم مهر ۱۴۰۰ | 13:28

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

"فضای ضرب" به اینجا تغییر مسیر می دهد. برای سایر کاربردها ، به توپولوژی ضرب (ضرب) مراجعه کنید .

در توپولوژی و زمینه های مرتبط با ریاضیات ، یک فضای است ضرب دکارتی از یک خانواده از فضاهای توپولوژیک مجهز به یک توپولوژی طبیعی به نام توپولوژی ضرب . این توپولوژی با یک توپولوژی دیگر ، شاید واضح تر ، به نام توپولوژی جعبه ای متفاوت است ، که همچنین می تواند به یک فضای ضرب داده شود و هنگامی که ضرب در محدوده بسیار محدودی قرار دارد ، با توپولوژی ضرب مطابقت دارد. با این حال ، توپولوژی ضرب "صحیح" است زیرا فضای ضرب را ضربی طبقه ای از عوامل آن می کند ، در حالی که توپولوژی جعبه بسیار خوب است؛ از این نظر توپولوژی ضرب ، توپولوژی طبیعی روی ضرب دکارتی است.

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

در طول ، $من$ مجموعه ای از شاخص های خالی و برای هر شاخص خواهد بود ${\ displaystyle i \ in I ،}$ $X_ {i}$ خواهد بود فضای توپولوژیک . اجازه دهید

$X: = \ prod _ {{i \ in I}} X_ {i}$

شود ضرب دکارتی از مجموعه $X_ {i} ،$ و نشان می دهد که پیش بینی های طبیعی توسط ${\ displaystyle p_ {i}: X \ to X_ {i}.}$ توپولوژی ضرب ، گاهی به نام توپولوژی تیخونف ، در $ایکس$ به عنوان درشت ترین توپولوژی (یعنی توپولوژی با کمترین مجموعه باز) تعریف شده است که همه پیش بینی ها برای آن $p_ {i}$ می پیوسته . ضرب دکارتی $X: = \ prod _ {{i \ in I}} X_ {i}$ دارای توپولوژی ضرب ، فضای ضرب نامیده می شود . توپولوژی ضرب به دلیل واقعیت زیر توپولوژی همگرایی نقطه ای نیز نامیده می شود : توالی (یا خالص ) در $ایکس$ اگر و تنها در صورتی که همه فرافکنی های آن به فضاها متصل شود $X_ {i}$ همگرا به طور خاص ، اگر شخص فضا را در نظر بگیرد ${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^{I}}$ همه توابع با ارزش واقعی در $من،$ همگرایی در توپولوژی ضرب همان همگرایی نقطه ای توابع است.

مجموعه های باز در توپولوژی ضرب ، اتحادیه هایی (محدود یا نامحدود) از مجموعه های فرم هستند ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} U_ {i} ،}$ کجا هرکدام $U_ {i}$ باز است در $X_ {i}$ و ${\ displaystyle U_ {i} \ neq X_ {i}}$ فقط برای تعداد بسیار زیادی $من.$ به طور خاص ، برای یک ضرب محدود (به ویژه ، برای ضرب دو فضای توپولوژیکی) ، مجموعه ای از تمام ضربات دکارتی بین یک عنصر پایه از هر $X_ {i}$ مبنایی برای توپولوژی ضرب می دهد ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} X_ {i}.}$ یعنی برای یک ضرب محدود ، مجموعه همه ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} U_ {i} ،}$ جایی که $U_ {i}$ عنصری از (انتخاب شده) اساس است $X_ {i} ،$ پایه ای برای توپولوژی ضرب است ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} X_ {i}.}$

توپولوژی ضرب در $ایکس$ توپولوژی است که توسط مجموعه های فرم ایجاد می شود ${\ displaystyle p_ {i}^{-1} \ چپ (U_ {i} \ راست) ،}$ جایی که $من \ در من$ و $U_ {i}$ زیر مجموعه باز از است ${\ displaystyle X_ {i}.}$ به عبارت دیگر ، مجموعه ها

باز است ${\ displaystyle \ left \ {p_ {i}^{-1} \ left (U_ {i} \ right) ~: ~ i \ in I {\ text {and}} U_ {i} \ subseteq X_ {i} {\ text {در}} X_ {i} \ right \}} باز است$

یک زیرمجموعه برای توپولوژی در ایجاد کنید $ایکس.$ زیر مجموعه از $ایکس$ اگر و تنها در صورتی که اتحادیه ای (احتمالاً نامحدود) از تقاطع مجموعه های نامحدود زیادی از فرم باشد باز است ${\ displaystyle p_ {i}^{-1} \ چپ (U_ {i} \ راست).}$ این ${\ displaystyle p_ {i}^{-1} \ چپ (U_ {i} \ راست)}$ گاهی اوقات استوانه باز نامیده می شود و تقاطع آنها مجموعه استوانه است .

ضرب توپولوژی های هر کدام $X_ {i}$ به شکل یک پایه و اساس آنچه که به نام توپولوژی جعبه در $ایکس.$ به طور کلی ، توپولوژی جعبه از توپولوژی ضرب ظریف تر است ، اما برای ضربات محدود آنها منطبق هستند.

مثالها [ ویرایش ]

اگر خط واقعی $\ mathbb {R}$ دارای توپولوژی استاندارد خود و سپس توپولوژی ضرب روی ضرب است $n$ کپی از $\ mathbb {R}$ برابر با توپولوژی اقلیدسی معمولی در ${\ mathbb {R}}^{n}.$

مجموعه کانتور است homeomorphic به ضرب از شمارایند بسیاری از نسخه از فضای گسسته ${\ displaystyle \ {0،1 \}}$ و فضای اعداد غیرمنطقی در نتیجه تعداد قابل ملاحظه ای از کپی های اعداد طبیعی همومورفیک است ، جایی که دوباره هر نسخه توپولوژی گسسته را حمل می کند.

چندین مثال اضافی در مقاله مربوط به توپولوژی اولیه آورده شده است .

خواص [ ویرایش ]

فضای ضرب $ایکس،$ همراه با پیش بینی های طبیعی ، می توان با ویژگی جهانی زیر مشخص کرد : اگر $Y$ یک فضای توپولوژیکی است و برای هر ${\ displaystyle i \ in I ،}$ $f_ {i}: Y \ to X_ {i}$ یک نقشه پیوسته است ، پس دقیقاً یک نقشه پیوسته وجود دارد $f: Y \ به X$ به گونه ای که برای هر کدام $من \ در من$ نمودار زیر حرکت می کند :

این نشان می دهد که فضای ضرب ضربی در رده فضاهای توپولوژیکی است . از ویژگی جهانی فوق نشان می دهد که یک نقشه است $f: Y \ به X$ اگر و فقط اگر پیوسته است ${\ displaystyle f_ {i} = p_ {i} \ circ f}$ برای همه پیوسته است ${\ displaystyle i \ in I.}$ در بسیاری از موارد ، بررسی عملکرد قطعه آسان تر است $f_ {i}$ پیوسته هستند بررسی اینکه آیا نقشه است $f: Y \ به X$ مداوم است معمولاً مشکل تر است. یکی سعی می کند از این واقعیت استفاده کند که $p_ {i}$ به نحوی پیوسته هستند

علاوه بر پیوسته بودن ، پیش بینی های متعارف ${\ displaystyle p_ {i}: X \ تا X_ {i}}$ هستند نقشه باز . این بدان معناست که هر زیرمجموعه ای از فضای ضرب در صورت نمایش به پایین باز می ماند ${\ displaystyle X_ {i}.}$ عکس آن درست نیست: اگر $W$ یک فضا فضا ضرب که بینی به همه $X_ {i}$ باز هستند ، پس $W$ نیازی به باز بودن نیست $ایکس$ (برای مثال در نظر بگیرید ${\ displaystyle W = \ mathbb {R} ^{2} \ setminus (0،1) ^{2}.}$ ) پیش بینی های متعارف به طور کلی نقشه های بسته نیستند (برای مثال مجموعه بسته را در نظر بگیرید ${\ displaystyle \ left \ {(x، y) \ in \ mathbb {R} ^{2}: xy = 1 \ right \}،}$ که پیش بینی آنها به هر دو محور است ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$ )

فرض کنید ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} S_ {i}}$ ضرب زیر مجموعه های دلخواه است ، جایی که ${\ displaystyle S_ {i} \ subseteq X_ {i}}$ برای هر ${\ displaystyle i \ in I.}$ اگر همه $S_ {i}$ می غیر خالی پس از آن ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} S_ {i}}$ یک زیرمجموعه بسته از فضای ضرب است $ایکس$ اگر و فقط اگر همه $S_ {i}$ یک زیرمجموعه بسته از است ${\ displaystyle X_ {i}.}$ به طور کلی ، بسته شدن ضرب ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} S_ {i}}$ زیر مجموعه های دلخواه در فضای ضرب $ایکس$ برابر با ضرب بسته شدن است: [1]

${\ displaystyle \ operatorname {Cl} _ {X} \ left (\ prod _ {i \ in I} S_ {i} \ right) = \ prod _ {i \ in I} \ left (\ operatornname {Cl} _ {X_ {i}} S_ {i} \ right).}$

هر ضربی از فضاهای هاوسدورف دوباره یک فضای هاسدورف است.

قضیه تیخونف ، که معادل اصل انتخاب است ، بیان می کند که هر ضربی از فضاهای فشرده یک فضای فشرده است. در تخصص قضیه تیخونف که فقط به لمای فوق فیلتر (و نه به قدرت کامل اصل انتخابی) نیاز دارد ، بیان می شود که هر ضربی از فضاهای فشرده هاوسدورف یک فضای فشرده است.

اگر ${\ displaystyle z = \ left (z_ {i} \ right) _ {i \ in I} \ in X}$ ثابت است سپس مجموعه

${\ displaystyle \ left \ {x = \ left (x_ {i} \ right) _ {i \ in I} \ in X \ colon x_ {i} = z_ {i} {\ text {برای همه به جز حداکثر بسیاری}} من \ راست \}}$

یک زیر مجموعه متراکم از فضای ضرب است $ایکس$ به [1]

ارتباط با سایر مفاهیم توپولوژیکی [ ویرایش ]

جدایش، جدایی

هر ضرب از T 0 فضاهای T است 0
هر ضرب از T 1 فضاهای T است 1
هر ضرب فضاهای هاسدورف هاسدورف است [2]
هر ضربی از فضاهای منظم منظم است
هر ضرب فضاهای تیخونف تیخونف است
ضرب فضاهای معمولی نیازی به عادی ندارد

فشردگی

هر ضرب فضاهای فشرده فشرده است ( قضیه تایچنوف )
ضرب فضاهای فشرده محلی نیازی به فشرده سازی محلی ندارد. با این حال، یک ضرب دلخواه از فضاهای موضعا فشرده که در آن همه اما بسیاری از بطور متناهی فشرده هستند است به صورت محلی فشرده (این شرط کافی و لازم است).

پیوستگی

هر ضرب از متصل (محدوده مسیر اتصال) فضاهای متصل است (محدوده مسیر متصل)
هر ضربی از فضاهای قطع شده ارثی به طور ارثی قطع می شود.

فضاهای متریک

ضربات شمارا از فضاهای متریک هستند فضای ناتهی یک مجموعه میگر

اصل انتخاب [ ویرایش ]

یکی از بسیاری از راههای بیان اصل انتخاب این است که بگوییم معادل این جمله است که ضرب دکارتی مجموعه ای از مجموعه های غیر خالی غیر خالی است. [3] اثبات این که از نظر توابع انتخابی معادل بیان اصل است فوری است: برای یافتن نماینده ای در ضرب ، فقط باید یک عنصر از هر مجموعه انتخاب کرد. برعکس ، نماینده ضرب مجموعه ای است که دقیقاً شامل یک عنصر از هر جزء است.

بدیهیات انتخاب دوباره در مطالعه فضاهای ضرب (توپولوژیکی) رخ می دهد. به عنوان مثال ، قضیه تیخونف در مورد مجموعه های فشرده یک مثال پیچیده تر و ظریف از گزاره ای است که نیاز به بدیهیات انتخاب دارد و در عمومی ترین فرمول آن معادل آن است ، [4] و نشان می دهد که چرا توپولوژی ضرب می تواند مفیدتر تلقی شود. توپولوژی برای قرار دادن ضرب دکارتی

همچنین ببینید [ ویرایش ]

اتحاد جدا (توپولوژی)
توپولوژی نهایی - بهترین توپولوژی که برخی از عملکردها را پیوستهر می کند
توپولوژی اولیه - درشت ترین توپولوژی که عملکردهای خاص را پیوسته می کند - گاهی اوقات توپولوژی حد پیش بینی شده نیز نامیده می شود
محدوده معکوس - ساخت و ساز در نظریه دسته
همگرایی نقطه ای - مفهوم همگرایی در ریاضیات
فضای کمکی (توپولوژی)
زیرفضا (توپولوژی)
توپولوژی ضعیف - توپولوژی که در آن همگرایی نقاط با همگرایی تصویر آنها تحت عملکردهای خطی پیوسته تعریف می شود

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Product_topology

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی