همسانریختی محلی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و پنجم مهر ۱۴۰۰ | 12:40

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، به طور خاص توپولوژی ، یک همسانریختی محلی است تابع بین فضاهای توپولوژیک که، به طور مستقیم، حفظ محلی ساختار (هر چند نه لزوما جهانی). اگر $f: X \ به Y$ یک همانریختی محلی است ، $ایکس$ گفته شده است که یک فضای étale بیش از $Y.$ از همانریختی های محلی در مطالعه برش استفاده می شود . نمونه های معمولی از همانریختی های محلی ، نقشه ها را پوشش می دهند .

یک فضای توپولوژیکی $ایکس$ در هر نقطه از Y به صورت همانریخت به Y است $ایکس$ دارای محله ای که homeomorphic به یک زیر مجموعه باز Y . برای مثال، یک منیفولد از ابعاد $n$ به صورت محلی همانریخت است به ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}.}$

اگر همانریختی محلی از وجود داشته باشد $ایکس$ به $Y ،$ سپس $ایکس$ به صورت محلی همانریخت است به $Y ،$ اما عکس آن همیشه درست نیست. به عنوان مثال ، کره دو بعدی ، به عنوان یک مانیفولد ، به صورت محلی در سطح همانریخت است ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2} ،}$ اما همانریختی محلی بین آنها (در هر دو جهت) وجود ندارد.

فهرست

تعریف رسمی [ ویرایش ]

اجازه دهید $ایکس$ و $Y$ شود فضاهای توپولوژیک . یک تابع $f: X \ به Y$ یک همانریختی محلی است [1] اگر برای هر نقطه $x \ در X$ یک مجموعه باز وجود دارد $U$ حاوی $ایکس،$ به گونه ای که تصویر $f (U)$ باز است در $Y$ و محدودیت ${\ displaystyle f {\ big \ vert} _ {U}: U \ to f (U)}$ یک همانریختی است (که در آن توپولوژی های زیرفضا مربوطه در آن استفاده می شود $U$ و در $f (U)$ )

مثالها و شرایط کافی [ ویرایش ]

هر همانریختی همچنین یک همانریختی محلی است. اگر $f: X \ به Y$ یک همانریختی محلی است و $U$ زیر مجموعه باز از است $ایکس،$ سپس محدودیت _ {U}: U \ to Y} ${\ displaystyle f {\ big \ vert} _ {U}: U \ to Y}$ همچنین یک همانریختی محلی است. ترکیب دو همانریختیها محلی همسانریختی محلی است (است که، اگر $f: X \ به Y$ و $g: Y \ به Z$ همانریختی محلی هستند ، سپس ترکیب ${\ displaystyle g \ circ f: X \ به Z}$ همچنین یک همانریختی محلی است). اگر $f: X \ به Y$ پیوسته است ، $g: Y \ به Z$ یک همانریختی محلی است و ${\ displaystyle g \ circ f: X \ به Z}$ یک همانریختی محلی ، پس $f$ همچنین یک همانریختی محلی است.

اگر $U$ زیر مجموعه باز از است $Y$ مجهز به توپولوژی زیرفضا ، سپس نقشه گنجاندن ${\ displaystyle i: U \ to Y}$ یک همانریختی محلی است. زیر مجموعه $U$ باز بودن در $ایکس$ در اینجا ضروری است زیرا نقشه گنجاندن یک زیرمجموعه غیر باز از $Y$ هرگز همانریختی محلی ایجاد نمی کند.

اگر ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to S^{1}}$ توسط تعریف می شود ${\ displaystyle f (t) = e^{it} ،}$ به طوری که هندسی، این نقشه کاری ادامه داده اند خط واقعی در اطراف دایره ، و سپس ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to S^{1}}$ همانریختی محلی است اما همانریختی نیست. اگر ${\ displaystyle f: S^{1} \ به S^{1}}$ نقشه ای است که دایره را به دور خود می پیچد $n$ بار (یعنی دارای شماره سیم پیچ) $n$ ) ، پس این یک همانریختی محلی برای همه غیر صفر است ${\ displaystyle n ،}$ اما همانریختی تنها در مواردی است که دو جهته است ، یعنی وقتی $n$ برابر $1$ یا $-1$

با تعمیم دو مثال قبلی ، هر نقشه پوششی یک همانریختی محلی است. به طور خاص ، پوشش جهانی ${\ displaystyle p: C \ to Y}$ از یک فضا $Y$ یک همانریختی محلی است. در شرایط خاص عکس آن صادق است. به عنوان مثال: اگر ${\ displaystyle p: X \ به Y}$ یک همانریختی محلی مناسب بین دو فضای هاسدورف و if است $Y$ همچنین به صورت محلی جمع و جور ، و سپس $پ$ یک نقشه پوششی است

همانریختی های محلی وجود دارد $f: X \ به Y$ جایی که $Y$ یک فضای هاسدورف است و $ایکس$ نیست. به عنوان مثال فضای ضریب را در نظر بگیرید ${\ displaystyle X = \ left (\ mathbb {R} \ sqcup \ mathbb {R} \ right)/\ sim،}$ جایی که رابطه معادل $\ سیم$ در پیوند جدا از هم دو نسخه از واقعیات ، هر واقعی منفی نسخه اول را با منفی منفی مربوط به نسخه دوم مشخص می کند. دو نسخه از ${\ displaystyle 0}$ شناسایی نشده اند و هیچ محله ای به هم پیوسته ندارند ، بنابراین $ایکس$ هاسدورف نیست یکی به راحتی نقشه طبیعی را بررسی می کند ${\ displaystyle f: X \ به \ mathbb {R}}$ یک همانریختی محلی است. فیبر ${\ displaystyle f^{-1} (\ {y \})}$ اگر دارای دو عنصر باشد ${\ displaystyle y \ geq 0}$ و یک عنصر اگر ${\ displaystyle y <0.}$ به طور مشابه ، می توان یک همانریختی محلی ایجاد کرد $f: X \ به Y$ جایی که $ایکس$ هاسدورف است و $Y$ نیست: نقشه طبیعی را از آنجا انتخاب کنید ${\ displaystyle X = \ mathbb {R} \ sqcup \ mathbb {R}}$ به ${\ displaystyle Y = \ left (\ mathbb {R} \ sqcup \ mathbb {R} \ right)/\ sim}$ با همان رابطه معادل سازی $\ سیم$ مانند بالا.

در تجزیه و تحلیل پیچیده نشان داده شده است که یک تابع تحلیلی پیچیده است ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$ (جایی که $U$ یک زیر مجموعه باز از صفحه پیچیده است $\ mathbb {C}$ ) یک همانریختی محلی است دقیقاً زمانی که مشتق شده است ${\ displaystyle f^{\ prime} (z)}$ برای همه غیر صفر است ${\ displaystyle z \ در U.}$ کارکرد ${\ displaystyle f (x) = z^{n}}$ روی یک دیسک باز در اطراف ${\ displaystyle 0}$ همانریختی محلی در آن نیست ${\ displaystyle 0}$ چه زمانی ${\ displaystyle n \ geq 2.}$ در این مورد ${\ displaystyle 0}$ یک نقطه " انحراف " است (به طور شهودی ، $n$ ملحفه ها آنجا جمع می شوند)

با استفاده از قضیه تابع معکوس می توان یک تابع متغیر پیوسته را نشان داد ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R} ^{n}}$ (جایی که $U$ زیر مجموعه باز از است $\ mathbb {R} ^{n}$ ) در صورت مشتق ، همانریختی محلی است ${\ displaystyle D_ {x} f}$ یک نقشه خطی معکوس (ماتریس مربع معکوس) برای هر کدام است $x \ در U.$ (برعکس نادرست است ، همانطور که توسط همانریختی محلی نشان داده شده است ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ به \ mathbb {R}}$ با $f (x) = x^3$ ) یک حالت مشابه را می توان برای نقشه های بین منیفولدهای متغیر تنظیم کرد .

فرض کنید $f: X \ به Y$ یک سوراخ باز مداوم بین دو فضای قابل شمارش دوم هاسدورف است که در آن $ایکس$ یک فضای بایر است و $Y$ یک فضای عادی . اگر هر فیبر از $f$ یک زیرفضا مجزا از است $ایکس$ (که شرط لازم برای آن است $f: X \ به Y$ یک همانریختی محلی باشد) $f$ هست یک $Y$ -ارزش همانریختی محلی در زیر مجموعه متراکم باز $ایکس.$ برای روشن شدن نتیجه گیری این بیانیه ، اجازه دهید ${\ displaystyle O = O_ {f}}$ بزرگترین زیر مجموعه باز (منحصر به فرد) باشد $ایکس$ به طوری که _ {O}: O \ to Y} ${\ displaystyle f {\ big \ vert} _ {O}: O \ to Y}$ یک همانریختی محلی است. [توجه 1] اگر هر فیبر از $f$ یک زیرفضا مجزا از است $ایکس$ سپس این مجموعه باز $O$ لزوماً یک زیر مجموعه متراکم از است $ایکس$ (که سپس به طور خاص دلالت بر این دارد که ${\ displaystyle O \ neq \ varnothing}$ چه زمانی $X \ neq \ لاک زدن$ ) یک پیامد خاص این است که هر گونه فرافکنی مداوم باز $f$ بین فضاهای کاملاً متری قابل شمارش دوم که دارای الیاف مجزا هستند "تقریباً در همه جا" یک همانریختی محلی است (به معنای توپولوژیکی که $از$ زیر مجموعه متراکم باز دامنه آن است). به عنوان مثال ، اگر سوراخ باز مداوم ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to [0، \ infty)}$ با چند جمله ای تعریف می شود $f (x) = x^{2}$ سپس حداکثر زیر مجموعه باز ${\ displaystyle O = O_ {f}}$ از این قضیه است ${\ displaystyle O = \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}؛}$ این مثال همچنین نشان می دهد که ممکن است برای $O$ به عنوان زیرمجموعه متراکم مناسب از $f$ دامنه از آنجا که هر فیبر از هر چند جمله ای غیر ثابت محدود است (و در نتیجه یک زیرفضا گسسته و حتی فشرده است) ، این مثال هر زمان که نگاشت ناشی از آن یک نقشه باز باشد ، به چنین چند جمله ای تعمیم می یابد. و اگر یک نقشه باز نیست ، با این وجود همچنان ساده است که قضیه را (احتمالاً چندین بار) با انتخاب دامنه (ها) بر اساس در نظر گرفتن حداقلها و حداکثرهای محلی نقشه بکار ببریم.

خواص [ ویرایش ]

هر همانریختی محلی یک نقشه پیوسته و باز است . دوسویی همسانریختی محلی است بنابراین یک همسانریختی.

هر فیبر یک همانریختی محلی $f: X \ به Y$ یک زیرفضا مجزا از حوزه خود است $ایکس.$

همانریختی محلی $f: X \ به Y$ ویژگیهای توپولوژیکی "محلی" را در هر دو جهت منتقل می کند:

$ایکس$ اگر و فقط در صورت محلی متصل است $f (X)$ است؛
$ایکس$ اگر و فقط اگر بصورت محلی متصل است $f (X)$ است؛
$ایکس$ اگر و فقط در صورت فشرده محلی باشد $f (X)$ است؛
$ایکس$ است اول شمارا اگر و تنها اگر $f (X)$ است.

همانطور که در بالا اشاره شد ، ویژگی هاسدورف از این نظر محلی نیست و نیازی به حفظ همانریختی های محلی نیست.

همومورفیسم های محلی با کدوماین $Y$ در مکاتبات طبیعی یک به یک با انبوه مجموعه ها بایستید ${\ displaystyle Y؛}$ این مکاتبات در واقع معادل مقولاتی است . علاوه بر این ، هر نقشه پیوسته با کدومن $Y$ باعث ایجاد همانریختی محلی منحصر به فرد با کدوم می شود $Y$ به صورت طبیعی همه اینها به طور مفصل در مقاله sheaves توضیح داده شده است .

کلیات و مفاهیم مشابه [ ویرایش ]

ایده یک همانریختی محلی را می توان در تنظیمات هندسی متفاوت از فضاهای توپولوژیکی فرموله کرد. برای منیفولدهای متغیر ، ما تفاوت های محلی را بدست می آوریم . برای طرح ها ، ما مورفیسم های رسمی و مورفیسم های ایتالی داریم . و برای توپوزها ، مورفیسم های هندسی قدیمی را دریافت می کنیم .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

همانریختی - ایزومورفیسم فضاهای توپولوژیکی در ریاضیات
دیفرمورفیسم محلی

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Local_homeomorphism

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی