معادله دیفرانسیل

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و دوم دی ۱۳۹۹ | 17:25

تجسم انتقال گرما در محفظه پمپ ، ایجاد شده با حل معادله گرما . گرما در داخل محفظه تولید می شود و در مرز خنک می شود ، و توزیع دمای حالت پایدار را ایجاد می کند .

در ریاضیات ، معادله دیفرانسیل معادله ای است که یک یا چند توابع و مشتقات آنها را با هم مرتبط می کند . [1] در کاربردها ، توابع به طور کلی کمیت های فیزیکی را نشان می دهند ، مشتقات نرخ تغییرات آنها را نشان می دهند و معادله دیفرانسیل رابطه بین این دو را تعریف می کند. چنین روابطی مشترک است؛ بنابراین ، معادلات دیفرانسیل در بسیاری از رشته ها از جمله مهندسی ، فیزیک ، اقتصاد و زیست شناسی نقش برجسته ای دارند .

عمدتا مطالعه معادلات دیفرانسیل شامل مطالعه راه حل های آنها (مجموعه توابع سازگار با هر معادله) و خصوصیات راه حل های آنها است. فقط ساده ترین معادلات دیفرانسیل با فرمول های صریح قابل حل هستند. با این حال ، بسیاری از خصوصیات محلولهای یک معادله دیفرانسیل معین ممکن است بدون محاسبه دقیق آنها تعیین شود.

غالباً وقتی عبارتی از فرم بسته برای راه حلها در دسترس نباشد ، ممکن است با استفاده از رایانه تقریباً به صورت عددی حل شود. نظریه سیستم های دینامیکی بر تحلیل کیفی سیستم هایی که توسط معادلات دیفرانسیل توصیف شده اند ، تأکید می کند ، در حالی که روش های عددی بسیاری برای تعیین راه حل ها با درجه مشخصی از دقت توسعه یافته اند.

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

معادلات دیفرانسیل برای اولین بار با اختراع حساب توسط نیوتن و لایب نیتس به وجود آمد . در فصل 2 کار خود در سال 1671 Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum ، [2] آیزاک نیوتن سه نوع معادله دیفرانسیل را ذکر کرد:

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} و {\ frac {dy} {dx}} = f (x) \\ [5pt] و {\ frac {dy} {dx}} = f (x ، y) \\ [5pt] & x_ {1} {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {1}}} + x_ {2} {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {2}}} = y \ end {هم راستا}}}$

در همه این موارد ، y یک تابع ناشناخته از x (یا از) است $x_ {1}$ و $x_ {2}$ ) ، و f یک تابع داده شده است.

او این مثالها و موارد دیگر را با استفاده از مجموعه های بی نهایت حل می کند و در مورد غیر منحصر به فرد بودن راه حل ها بحث می کند.

ژاکوب برنولی پیشنهاد معادله برنولی دیفرانسیل در 1695. [3] این است معادله دیفرانسیل معمولی از فرم

$y '+ P (x) y = Q (x) y ^ {n} \ ،$

که برای آن سال بعد لایب نیتس با ساده سازی راه حل هایی به دست آورد. [4]

از نظر تاریخی ، مسئله یک رشته ارتعاشی مانند یک ساز موسیقی توسط ژان لو روند د آلبرت ، لئونارد اولر ، دانیل برنولی و جوزف لوئیس لاگرانژ مورد بررسی قرار گرفت . [5] [6] [7] [8] در سال 1746 ، d'Alembert معادله موج یک بعدی را کشف کرد و در طی ده سال ، اولر معادله موج سه بعدی را کشف کرد. [9]

معادله اویلر-لاگرانژ در 1750s توسط اویلر و لاگرانژ در ارتباط با مطالعات خود را از توسعه داده شد tautochrone مشکل است. این مسئله تعیین منحنی است که بر اساس آن یک ذره وزن دار در یک زمان ثابت و بدون توجه به نقطه شروع ، به یک نقطه ثابت سقوط می کند. لاگرانژ این مشکل را در سال 1755 حل کرد و راه حل را برای اولر ارسال کرد. هر دو روش لاگرانژ را بیشتر توسعه داده و از آن در زمینه مکانیک استفاده کردند که منجر به فرمولاسیون مکانیک لاگرانژی شد .

در سال 1822 ، فوریه کار خود را در مورد جریان گرما در Théorie analytique de la chaleur (تئوری تحلیلی گرما) منتشر کرد [10] ، که در آن استدلال خود را بر اساس قانون خنک سازی نیوتن ، یعنی جریان گرما بین دو مولکول مجاور استوار کرد. متناسب با اختلاف بسیار کم دمای آنها است. پیشنهاد فوریه از معادله گرما برای انتشار رسانای گرما در این کتاب وجود داشت . این معادله دیفرانسیل جزئی اکنون به هر دانشجوی فیزیک ریاضی آموزش داده می شود.

مثال [ ویرایش ]

در مکانیک کلاسیک ، حرکت بدن با موقعیت و سرعت آن توصیف می شود زیرا مقدار زمان تغییر می کند. قوانین نیوتن اجازه می دهد که این متغیرها به صورت پویا (با توجه به موقعیت ، سرعت ، شتاب و نیروهای مختلفی که بر روی بدن وارد می شوند) به عنوان یک معادله دیفرانسیل برای موقعیت نامعلوم بدن به عنوان تابعی از زمان بیان شوند.

در بعضی موارد ، ممکن است این معادله دیفرانسیل (که معادله حرکت نامیده می شود) به صراحت حل شود.

نمونه ای از مدل سازی یک مسئله در دنیای واقعی با استفاده از معادلات دیفرانسیل ، تعیین سرعت یک توپ در حال سقوط در هوا است ، فقط با توجه به گرانش و مقاومت هوا. شتاب توپ به سمت زمین شتاب ناشی از جاذبه منهای کاهش سرعت در اثر مقاومت هوا است. گرانش ثابت در نظر گرفته می شود و مقاومت هوا ممکن است متناسب با سرعت توپ مدلسازی شود. این بدان معنی است که شتاب توپ که مشتق سرعت آن است ، به سرعت بستگی دارد (و سرعت به زمان بستگی دارد). یافتن سرعت به عنوان تابعی از زمان شامل حل یک معادله دیفرانسیل و تأیید اعتبار آن است.

انواع [ ویرایش ]

معادلات دیفرانسیل را می توان به انواع مختلفی تقسیم کرد. جدا از توصیف خصوصیات معادله ، این دسته از معادلات دیفرانسیل می توانند در انتخاب روش حل به شما کمک کنند. تمایزاتی که معمولاً استفاده می شود شامل عادی یا جزئی بودن معادله ، خطی یا غیرخطی و همگن یا ناهمگن بودن است. این لیست کاملاً کامل نیست. بسیاری از خصوصیات و زیر کلاس های معادلات دیفرانسیل وجود دارد که می تواند در زمینه های خاص بسیار مفید باشد.

معادلات دیفرانسیل معمولی [ ویرایش ]

مقالات اصلی: معادله دیفرانسیل معمولی و معادله دیفرانسیل خطی

معادله دیفرانسیل معمولی ( ODE ) یک معادله حاوی ناشناخته است تابعی از یک حقیقی یا مختلط متغیر X ، مشتقات آن، و برخی از توابع داده شده از X . تابع ناشناخته عموما توسط نمایندگی متغیر (اغلب نشان داده Y )، که، بنابراین، بستگی دارد در ایکس . بنابراین x اغلب متغیر مستقل معادله نامیده می شود . اصطلاح " معمولی " در مقابل اصطلاح معادله دیفرانسیل جزئی استفاده می شود ، که ممکن است در مورد بیش از یک متغیر مستقل باشد.

معادلات دیفرانسیل خطی معادلات دیفرانسیل هستند که در تابع ناشناخته و مشتقات آن خطی هستند . نظریه آنها به خوبی توسعه یافته است و در بسیاری از موارد ممکن است راه حلهای آنها از نظر انتگرال بیان شود .

بیشتر ODE هایی که در فیزیک مشاهده می شوند خطی هستند. بنابراین ، بیشتر توابع خاص ممکن است به عنوان حل معادلات دیفرانسیل خطی تعریف شوند (به تابع هولوگونیک مراجعه کنید ).

از آنجا که ، به طور کلی ، حل های یک معادله دیفرانسیل را نمی توان با یک عبارت شکل بسته بیان کرد ، روشهای عددی معمولاً برای حل معادلات دیفرانسیل در رایانه استفاده می شوند.

معادلات دیفرانسیل جزئی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله دیفرانسیل جزئی

معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی ( PDE ) یک معادله دیفرانسیل است که شامل ناشناخته است توابع چند متغیره و خود مشتقات جزئی . (این برخلاف معادلات دیفرانسیل معمولی است که با توابع یک متغیر واحد و مشتقات آنها سروکار دارند.) PDE ها برای فرمول بندی مشکلات مربوط به توابع چندین متغیر استفاده می شوند و یا به صورت بسته حل می شوند یا برای ایجاد یک رایانه مربوطه استفاده می شوند مدل .

از PDE می توان برای توصیف طیف گسترده ای از پدیده ها در طبیعت مانند صدا ، گرما ، الکترواستاتیک ، الکترودینامیک ، جریان سیال ، کشش یا مکانیک کوانتوم استفاده کرد . این پدیده های ظاهری متمایز فیزیکی را می توان از نظر PDE به طور مشابه رسمی کرد. همانطور که معادلات دیفرانسیل معمولی اغلب سیستم های دینامیکی یک بعدی را مدل می کنند ، معادلات دیفرانسیل جزئی نیز اغلب سیستم های چند بعدی را مدل می کنند . معادلات دیفرانسیل جزئی تصادفی معادلات دیفرانسیل جزئی را برای مدل سازی تصادفی تعمیم می دهد .

معادلات دیفرانسیل غیر خطی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادلات دیفرانسیل غیر خطی

غیر خطی معادلات دیفرانسیل است یک دیفرانسیل معادله این است که نه معادله خطی در تابع ناشناخته و مشتقات آن (خطی یا غیر خطی در استدلال از تابع در اینجا در نظر گرفته نشده است). روش های بسیار کمی برای حل معادلات دیفرانسیل غیر خطی دقیقا وجود دارد. آنهایی که شناخته می شوند معمولاً به معادله دارای تقارنهای خاص بستگی دارند . معادلات دیفرانسیل غیرخطی می توانند رفتار بسیار پیچیده ای را در فواصل زمانی طولانی ، مشخصه هرج و مرج نشان دهند. حتی س fundamentalالات اساسی وجود ، منحصر به فرد بودن و قابل گسترش بودن راه حل ها برای معادلات دیفرانسیل غیرخطی ، و مطرح بودن مشکلات مقدار اولیه و مرزی برای PDE های غیرخطی ، مشکلات سختی هستند و حل آنها در موارد خاص پیشرفت قابل توجهی در ریاضیات محسوب می شود. نظریه (ر.ک. Navier – استوکس وجود و صاف بودن ). با این حال ، اگر معادله دیفرانسیل یک بازنمایی صحیح از یک روند فیزیکی معنی دار باشد ، انتظار می رود که یک راه حل داشته باشد. [11]

معادلات دیفرانسیل خطی غالباً به عنوان تقریب معادلات غیر خطی ظاهر می شوند . این تقریب ها فقط در شرایط محدود معتبر هستند. به عنوان مثال ، معادله اسیلاتور هارمونیکی یک تقریب با معادله پاندول غیرخطی است که برای نوسانات دامنه کوچک معتبر است (به زیر مراجعه کنید).

ترتیب معادله [ ویرایش ]

معادلات دیفرانسیل به ترتیب آنها توصیف می شوند که توسط اصطلاح با بالاترین مشتقات تعیین می شوند . یک معادله فقط شامل مشتقات اول است معادله دیفرانسیل مرتبه اول ، معادله حاوی مشتق دوم است معادله دیفرانسیل مرتبه دوم ، و غیره. [12] [13] معادلات دیفرانسیل که پدیده های طبیعی را توصیف می کنند تقریباً همیشه فقط مشتقات مرتبه اول و دوم را در خود دارند ، اما موارد استثنایی وجود دارد ، مانند معادله فیلم نازک ، که یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه چهار است.

مثالها [ ویرایش ]

در گروه اول نمونه های u تابعی ناشناخته از x است و c و ω ثابت هایی هستند که قرار است شناخته شوند. دو طبقه بندی گسترده از هر دو معادله دیفرانسیل معمولی و جزئی شامل تمایز بین معادلات دیفرانسیل خطی و غیر خطی ، و بین معادلات دیفرانسیل همگن و ناهمگن است .

معادله دیفرانسیل معمولی ضریب ثابت خطی مرتبه اول ناهمگن:

${\ frac {du} {dx}} = cu + x ^ {2}.$

معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن:

${\ frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} - x {\ frac {du} {dx}} + u = 0.$

معادله دیفرانسیل معمولی ضریب ثابت خطی مرتبه دوم همگن توصیف کننده نوسان ساز هارمونیک :

${\ frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} + \ امگا ^ {2} u = 0.$

معادله دیفرانسیل عادی غیر خطی مرتبه اول ناهمگن:

${\ frac {du} {dx}} = u ^ {2} +4.$

معادله دیفرانسیل معمولی غیرخطی مرتبه دوم (به دلیل عملکرد سینوسی) که توصیف حرکت آونگ طول L است :

$L {\ frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} + g \ sin u = 0.$

در گروه مثالهای بعدی ، تابع ناشناخته u به دو متغیر x و t یا x و y بستگی دارد .

معادله دیفرانسیل جزئی خطی مرتبه اول:

${\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + t {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0.$

معادله دیفرانسیل جزئی با ضریب ثابت خطی مرتبه دوم همگن از نوع بیضوی ، معادله لاپلاس :

${\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} = 0.$

معادله دیفرانسیل جزئی غیر خطی مرتبه سوم:

${\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = 6u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial ^ {3} u} {\ partial x ^ {3 }}}.$

وجود راه حل ها [ ویرایش ]

حل معادلات دیفرانسیل مانند حل معادلات جبری نیست . راه حل های آنها نه تنها غالباً مشخص نیست ، بلکه اینکه آیا راه حل ها منحصر به فرد هستند یا اصلاً وجود دارند نیز از موارد جالب توجه هستند.

برای مشکلات مقدار اولیه مرتبه اول ، قضیه وجود Peano مجموعه ای از شرایط را ارائه می دهد که در آن راه حل وجود دارد. با توجه به هر نکته $(a، b)$ در صفحه xy ، یک منطقه مستطیل شکل تعریف کنید $ز$ ، به طوری که $Z = [l ، m] \ دفعات [n ، p]$ و $(a، b)$ در داخل کشور است $ز$ . اگر به ما معادله دیفرانسیل داده شود

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = g (x، y)}$ و شرایطی که $y = b$ چه زمانی $x = یک$ ، سپس به صورت محلی یک راه حل برای این مشکل وجود دارد اگر $g (x ، y)$ , ${\ frac {\ جزئی g} {\ جزئی x}}$ هر دو در ادامه هستند $ز$ . این راه حل در فاصله ای وجود دارد که مرکز آن در است $آ$ . ممکن است راه حل منحصر به فرد نباشد. ( برای نتایج دیگر به معادله دیفرانسیل معمولی مراجعه کنید .)

با این حال ، این فقط به ما کمک می کند تا در اولین مقدار مشکلات اولیه مقدار . فرض کنید ما یک مقدار مقدار اولیه خطی از مرتبه n داریم:

${\ displaystyle f_ {n} (x) {\ frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} + \ cdots + f_ {1} (x) {\ frac {dy} {dx}} + f_ {0} (x) y = g (x)}$

به طوری که

برای هر غیر صفر $f _ {{n}} (x)$ ، اگر $\ {f_ {0} ، f_ {1} ، \ cdots \}$ و $g$ در برخی از بازه های حاوی مداوم هستند $x_ {0}$ ، $y$ منحصر به فرد است و وجود دارد. [14]

مفاهیم مرتبط [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیل تاخیر (DDE) یک معادله برای یک تابع از یک متغییر منفرد، معمولا به نام است زمان ، که در آن مشتق تابع در یک زمان خاص است از نظر ارزش های تابع در زمانهای گذشته داده شده است.
معادله انتگرال-دیفرانسیل (IDE) یک معادله است که ترکیبی از جنبه های یک معادله دیفرانسیل و معادلات انتگرال .
معادله دیفرانسیل تصادفی (SDE) یک معادله است که در آن مقدار ناشناخته است فرایند تصادفی و معادله شامل برخی از فرایندهای تصادفی شناخته شده است، به عنوان مثال، فرآیند وینر در مورد معادلات انتشار.
معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی تصادفی (SPDE) یک معادله است که عام SDES شامل فرآیندهای سر و صدا فضا-زمان، با برنامه های کاربردی در نظریه میدان کوانتومی و مکانیک آماری .
معادله جبری دیفرانسیل (DAE) یک دیفرانسیل معادله دیفرانسیل اظهار و جبری شرایط، با توجه به شکل ضمنی است.

اتصال به معادلات اختلاف [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: حساب مقیاس زمان

تئوری معادلات دیفرانسیل ارتباط نزدیک با نظریه معادلات اختلاف دارد ، که در آن مختصات فقط مقادیر گسسته را در نظر می گیرند و رابطه شامل مقادیر تابع ناشناخته یا توابع و مقادیر در مختصات نزدیک است. بسیاری از روش ها برای محاسبه راه حل های عددی معادلات دیفرانسیل یا مطالعه خصوصیات معادلات دیفرانسیل شامل تقریب حل معادله دیفرانسیل با حل معادله اختلاف متناظر است.

برنامه ها [ ویرایش ]

مطالعه معادلات دیفرانسیل زمینه گسترده ای در ریاضیات ، فیزیک و مهندسی خالص و کاربردی است . همه این رشته ها مربوط به خصوصیات معادلات دیفرانسیل از انواع مختلف هستند. ریاضیات خالص بر وجود و منحصر به فرد بودن راه حل ها متمرکز است ، در حالی که ریاضیات کاربردی بر توجیه دقیق روش های تقریب راه حل ها تأکید می کند. معادلات دیفرانسیل تقریباً در مدل سازی هر فرآیند فیزیکی ، فنی یا بیولوژیکی ، از حرکت آسمانی ، طراحی پل ، تا فعل و انفعالات بین سلول های عصبی ، نقش مهمی دارند. معادلات دیفرانسیل مانند معادلاتی که برای حل مشکلات زندگی واقعی استفاده می شود لزوماً قابل حل مستقیم نیستند ، یعنی فرم بسته ای ندارندراه حل ها در عوض ، می توان با استفاده از روش های عددی ، تقریب حل کرد .

بسیاری از قوانین اساسی فیزیک و شیمی را می توان به عنوان معادلات دیفرانسیل فرموله کرد. در زیست شناسی و اقتصاد ، از معادلات دیفرانسیل برای مدل سازی استفاده می شودرفتار سیستم های پیچیده نظریه ریاضی معادلات دیفرانسیل برای اولین بار همراه با علوم از آنجا که معادلات از آنجا پدید آمده و در آنجا نتایج به کار می روند ، توسعه یافت. با این حال ، مشکلات متنوعی ، که گاهی اوقات از زمینه های کاملاً متمایز علمی نشأت می گیرند ، ممکن است معادلات دیفرانسیل یکسانی ایجاد کنند. هر زمان که این اتفاق می افتد ، می توان نظریه ریاضی پشت معادلات را به عنوان یک اصل وحدت بخش در پشت پدیده های مختلف در نظر گرفت. به عنوان نمونه ، انتشار نور و صدا در جو ، و امواج در سطح حوضچه را در نظر بگیرید. همه آنها ممکن است با همان معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم ، معادله موج توصیف شود، که به ما امکان می دهد نور و صدا را به صورت اشکال امواج در نظر بگیریم ، دقیقاً مانند امواج آشنا در آب. هدایت گرما ، نظریه آن توسط جوزف فوریه ساخته شده است ، توسط یک معادله دیفرانسیل جزئی درجه دوم دیگر ، معادله گرما اداره می شود . به نظر می رسد که بسیاری از فرایندهای انتشار ، اگرچه به ظاهر متفاوت هستند ، اما با همان معادله توصیف می شوند. به عنوان مثال ، معادله بلک اسکولز در امور مالی با معادله گرما مرتبط است.

تعداد معادلات دیفرانسیل که در مناطق مختلف علمی نامی دریافت کرده اند ، شاهد اهمیت موضوع است. به لیست معادلات دیفرانسیل نامگذاری شده مراجعه کنید .

نرم افزار [ ویرایش ]

برخی از نرم افزارهای CAS می توانند معادلات دیفرانسیل را حل کنند. این نرم افزارهای CAS و دستورات آنها قابل ذکر است:

افرا : [15] حل می شود
ریاضیات : [16] DSolve []
SageMath : [17] desolve ()
Xcas : [18] تخریب (y '= k * y ، y)

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

معادله دیفرانسیل پیچیده
معادله دیفرانسیل دقیق
معادله دیفرانسیل عملکردی
شرایط آغازین
معادلات انتگرال
روشهای عددی برای معادلات دیفرانسیل معمولی
روش های عددی برای معادلات دیفرانسیل جزئی
قضیه Picard – Lindelöf در مورد وجود و منحصر به فرد بودن راه حل ها
رابطه عود ، همچنین به عنوان "معادله اختلاف" شناخته می شود
معادله دیفرانسیل انتزاعی
سیستم معادلات دیفرانسیل

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_equation

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی