ادامه تجزیه کسری گویا(5)

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و دوم دی ۱۳۹۹ | 15:59

مثال 5 (روش محدود) [ ویرایش ]

برای یافتن تجزیه کسری جزئی می توان از محدودیت ها استفاده کرد. [4] به مثال زیر توجه کنید :

${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3} -1}}}$

ابتدا مخرجی را تعیین کنید که تجزیه را تعیین می کند:

${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3} -1}} = {\ frac {1} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = {\ frac { A} {x-1}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2} + x + 1}}.}$

ضرب همه چیز در $x-1$ ، و استفاده از حد مجاز $x \ به 1$ ، ما گرفتیم

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 1} \ left ((x-1) \ left ({\ frac {A} {x-1}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2} + x + 1}} \ راست) \ راست) = \ lim _ {x \ به 1} A + \ lim _ {x \ به 1} {\ frac {(x-1) (Bx + C)} {x ^ {2} + x + 1}} = الف.}$

از سوی دیگر،

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {(x-1)} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = \ lim _ {x \ به 1 } {\ frac {1} {x ^ {2} + x + 1}} = {\ frac {1} {3}} ،}$

و بنابراین:

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {3}}.}$

ضرب در x و گرفتن حد وقتی $x \ به \ بی اعتبار$ ، ما داریم

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} x \ left ({\ frac {A} {x-1}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2} + x + 1}} \ راست) = \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {Ax} {x-1}} + \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {Bx ^ {2} + Cx} { x ^ {2} + x + 1}} = A + B ،}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {x} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = 0.}$

این به معنی A + B = 0 و غیره است $B = - \ frac {1} {3}$ .

برای x = 0 ، به دست می آوریم ${\ displaystyle -1 = -A + C ،}$ و بنابراین ${\ displaystyle C = - {\ tfrac {2} {3}}}$ .

با قرار دادن همه چیز ، تجزیه می شود

${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3} -1}} = {\ frac {1} {3}} \ سمت چپ ({\ frac {1} {x-1}} + {\ frac { -x-2} {x ^ {2} + x + 1}} \ راست).}$

مثال 6 (انتگرال) [ ویرایش ]

فرض کنید انتگرال نامعین داریم :

${\ displaystyle \ int {\ frac {x ^ {4} + x ^ {3} + x ^ {2} +1} {x ^ {2} + x-2}} \، dx}$

قبل از انجام تجزیه ، بدیهی است که باید تقسیم طولانی چند جمله ای را انجام دهیم و مخرج را فاکتور دهیم. انجام این کار منجر به موارد زیر می شود:

${\ displaystyle \ int x ^ {2} +3 + {\ frac {-3x + 7} {(x + 2) (x-1)}} \، dx}$

بر این اساس ، اکنون می توانیم تجزیه کسری جزئی را انجام دهیم.

${\ displaystyle \ int x ^ {2} +3 + {\ frac {-3x + 7} {(x + 2) (x-1)}} \، dx = \ int x ^ {2} +3+ { \ frac {A} {(x + 2)}} + {\ frac {B} {(x-1)}} \، dx}$

بنابراین:

${\ displaystyle A (x-1) + B (x + 2) = - 3x + 7}$ .

با جایگزینی مقادیر خود ، در این حالت ، جایی که x = 1 برای حل B و x = -2 برای حل A ، ما نتیجه خواهیم گرفت:

${\ displaystyle A = {\ frac {-13} {3}} \، B = {\ frac {4} {3}}}$

اتصال همه این موارد به قسمت انتگرال ما به ما امکان می دهد پاسخ را پیدا کنیم:

${\ displaystyle \ int x ^ {2} +3 + {\ frac {-13/3} {(x + 2)}} + {\ frac {4/3} {(x-1)}} \، dx = {\ frac {x ^ {3}} {3}} \ + 3x - {\ frac {13} {3}} \ ln (| x + 2 |) + {\ frac {4} {3}} \ ln (| x-1 |) + C}$

نقش چند جمله ای تیلور [ ویرایش ]

تجزیه کسری جزئی از یک تابع منطقی را می توان با قضیه تیلور به شرح زیر مرتبط دانست. اجازه دهید

${\ displaystyle P (x) ، Q (x) ، A_ {1} (x) ، \ ldots ، A_ {r} (x)}$

چند جمله ای واقعی باشد یا پیچیده فرض کنید که

${\ displaystyle Q = \ prod _ {j = 1} ^ {r} (x- \ lambda _ {j}) ^ {\ nu _ {j}} ،}$

راضی می کند

${\ displaystyle \ deg A_ {1} <\ nu _ {1}، \ ldots، \ deg A_ {r} <\ nu _ {r}، \ quad {\ text {and}} \ quad \ deg (P) <\ deg (Q) = \ sum _ {j = 1} ^ {r} \ nu _ {j}.}$

همچنین تعریف کنید

${\ displaystyle Q_ {i} = \ prod _ {j \ neq i} (x- \ lambda _ {j}) ^ {\ nu _ {j}} = {\ frac {Q} {(x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}}} ، \ qquad 1 \ leqslant i \ leqslant r.}$

پس ما داریم

$\ frac {P} {Q} = \ sum_ {j = 1} ^ {r} \ frac {A_j} {(x- \ lambda_j) ^ {\ nu_j}}$

اگر ، و فقط اگر ، هر چند جمله ای باشد ${\ displaystyle A_ {i} (x)}$ چند جمله ای تیلور است ${\ displaystyle {\ tfrac {P} {Q_ {i}}}}$ از نظم ${\ displaystyle \ nu _ {i} -1}$ در نقطه $\ lambda _ {i}$ :

${\ displaystyle A_ {i} (x): = \ sum _ {k = 0} ^ {\ nu _ {i} -1} {\ frac {1} {k!}} \ سمت چپ ({\ frac {P } {Q_ {i}}} \ راست) ^ {(k)} (\ lambda _ {i}) \ (x- \ lambda _ {i}) ^ {k}.}$

قضیه تیلور (در حالت واقعی یا پیچیده) اثبات وجود و منحصر به فرد تجزیه کسری جزئی و توصیف ضرایب را ارائه می دهد.

طرح اثبات [ ویرایش ]

بالا تجزیه کسر پیداست، برای هر 1 ≤ من ≤ R ، توسعه چند جمله ای

${\ displaystyle {\ frac {P} {Q_ {i}}} = A_ {i} + O ((x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}) ، \ qquad {\ text {for}} x \ to \ lambda _ {i}،}$

بنابراین $A_ {i}$ چند جمله ای تیلور است ${\ displaystyle {\ tfrac {P} {Q_ {i}}}}$ ، به دلیل یکتایی گسترش چند جمله ای ترتیب ${\ displaystyle \ nu _ {i} -1}$ ، و با فرض ${\ displaystyle \ deg A_ {i} <\ nu _ {i}}$ .

برعکس ، اگر $A_ {i}$ چند جمله ای تیلور هستند ، در هر یک از موارد فوق $\ lambda _ {i}$ نگه دارید ، بنابراین ما نیز داریم

${\ displaystyle P-Q_ {i} A_ {i} = O ((x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}) ، \ qquad {\ text {for}} x \ to \ لامبدا _ {i} ،}$

که به معنای چند جمله ای بودن آن است ${\ displaystyle P-Q_ {i} A_ {i}}$ قابل تقسیم بر است ${\ displaystyle (x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}.}$

برای ${\ displaystyle j \ neq i، Q_ {j} A_ {j}}$ همچنین با تقسیم می شود ${\ displaystyle (x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}}$ ، بنابراین

${\ displaystyle P- \ sum _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j}}$

قابل تقسیم بر است $س$ . از آنجا که

${\ displaystyle \ deg \ left (P- \ sum _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j} \ right) <\ deg (Q)}$

پس داریم

${\ displaystyle P- \ sum _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j} = 0 ،}$

و می یابیم که تجزیه کسری جزئی بر اساس تقسیم می شود ${\ displaystyle Q}$ .

کسر اعداد صحیح [ ویرایش ]

ایده کسرهای جزئی را می توان به سایر حوزه های انتگرال تعمیم داد ، مثلاً حلقه ای از اعداد صحیح که اعداد اول نقش مخرج های غیرقابل کاهش را دارند. مثلا:

$\ frac {1} {18} = \ frac {1} {2} - \ frac {1} {3} - \ frac {1} {3 ^ 2}.$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_fraction_decomposition

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی