ادامه تجزیه کسری گویا(4)

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و دوم دی ۱۳۹۹ | 15:53

مثالها [ ویرایش ]

مثال 1 [ ویرایش ]

$f (x) = \ frac {1} {x ^ 2 + 2x-3}$

در اینجا ، مخرج به دو عامل خطی مشخص تقسیم می شود:

$q (x) = x ^ 2 + 2x-3 = (x + 3) (x-1)$

بنابراین ما تجزیه کسری جزئی داریم

$f (x) = \ frac {1} {x ^ 2 + 2x-3} = \ frac {A} {x + 3} + \ frac {B} {x-1}$

ضرب در مخرج در سمت چپ ، هویت چند جمله ای به ما می دهد

$1 = A (x-1) + B (x + 3)$

با جایگزینی x = −3 در این معادله A = −1/4 و جایگزینی x = 1 مقدار B = 1/4 بدست می آید ، به طوری که

$f (x) = \ frac {1} {x ^ 2 + 2x-3} = \ frac {1} {4} \ سمت چپ (\ frac {-1} {x + 3} + \ frac {1} {x -1} \ راست)$

مثال 2 [ ویرایش ]

$f (x) = \ frac {x ^ 3 + 16} {x ^ 3-4x ^ 2 + 8x}$

پس از تقسیم طولانی ، ما داریم

$f (x) = 1 + \ frac {4x ^ 2-8x + 16} {x ^ 3-4x ^ 2 + 8x} = 1 + \ frac {4x ^ 2-8x + 16} {x (x ^ 2- 4x + 8)}$

عامل x 2 - 4 x + 8 نسبت به واقعی غیرقابل کاهش است ، زیرا تفکیک کننده آن (−4) 2 - 4 × 8 = - 16 منفی است. بنابراین تجزیه کسری جزئی بیش از واقعی شکل دارد

$\ frac {4x ^ 2-8x + 16} {x (x ^ 2-4x + 8)} = \ frac {A} {x} + \ frac {Bx + C} {x ^ 2-4x + 8}$

ضرب در x 3 - 4 x 2 + 8 x ، هویت چند جمله ای داریم

$4x ^ 2-8x + 16 = A (x ^ 2-4x + 8) + (Bx + C) x$

با گرفتن x = 0 ، می بینیم که 16 = 8 A ، بنابراین A = 2. با مقایسه ضرایب x 2 ، می بینیم که 4 = A + B = 2 + B ، بنابراین B = 2. با مقایسه ضرایب خطی ، می بینیم که - 8 = -4 A + C = -8 + C ، بنابراین C = 0. در کل ،

$f (x) = 1 + 2 \ چپ (\ frac {1} {x} + \ frac {x} {x ^ 2-4x + 8} \ سمت راست)$

کسر را می توان با استفاده از اعداد مختلط کاملاً تجزیه کرد . طبق قضیه اساسی جبر ، هر چند جمله ای پیچیده درجه n دارای ریشه n (پیچیده) است (بعضی از آنها قابل تکرار هستند). کسر دوم را می توان به صورت زیر تجزیه کرد:

${\ displaystyle {\ frac {x} {x ^ {2} -4x + 8}} = {\ frac {D} {x- (2 + 2i)}} + {\ frac {E} {x- (2 -2i)}}}$

ضرب در مخرج:

${\ displaystyle x = D (x- (2-2i)) + E (x- (2 + 2i))}}$

با برابر کردن ضرایب x و ضرایب ثابت (با توجه به x ) هر دو طرف این معادله ، یک سیستم از دو معادله خطی در D و E بدست می آید که حل آن

${\ displaystyle D = {\ frac {1 + i} {2i}} = {\ frac {1-i} {2}} ، \ qquad E = {\ frac {1-i} {- 2i}} = { \ frac {1 + i} {2}}.}$

بنابراین ما یک تجزیه کامل داریم:

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {3} +16} {x ^ {3} -4x ^ {2} + 8x}} = 1 + {\ frac {2} {x}} + {\ frac {1-i} {x- (2 + 2i)}} + {\ frac {1 + i} {x- (2-2i)}}}$

همچنین ممکن است یکی مستقیماً A ، D و E را با روش باقی مانده محاسبه کند (به مثال 4 زیر مراجعه کنید).

مثال 3 [ ویرایش ]

این مثال ، تقریباً "کلاهبرداری" هایی را که ممکن است لازم باشد استفاده کنیم ، بدون مشاوره با یک سیستم جبر رایانه ، نشان می دهد .

$f (x) = \ frac {x ^ 9-2x ^ 6 + 2x ^ 5-7x ^ 4 + 13x ^ 3-11x ^ 2 + 12x-4} {x ^ 7-3x ^ 6 + 5x ^ 5-7x ^ 4 + 7x ^ 3-5x ^ 2 + 3x-1}$

پس از تقسیم طولانی و فاکتورگذاری مخرج ، ما داریم

$f (x) = x ^ 2 + 3x + 4 + \ frac {2x ^ 6-4x ^ 5 + 5x ^ 4-3x ^ 3 + x ^ 2 + 3x} {(x-1) ^ 3 (x ^ 2 1+) ^ 2}$

تجزیه کسری جزئی شکل می گیرد

${\ displaystyle {\ frac {2x ^ {6} -4x ^ {5} + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x} {(x-1) ^ {3} ( x ^ {2} +1) ^ {2}}} = {\ frac {A} {x-1}} + {\ frac {B} {(x-1) ^ {2}}} + {\ frac {C} {(x-1) ^ {3}}} + {\ frac {Dx + E} {x ^ {2} +1}} + {\ frac {Fx + G} {(x ^ {2} 1+ ^ ^ {2}}}.}$

ضرب در مخرج در سمت چپ ، هویت چند جمله ای داریم

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} 2x ^ {6} -4x ^ {5} & + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = \\ [4pt] & = A (x-1) ^ {2} (x ^ {2} +1) ^ {2} + B (x-1) (x ^ {2} +1) ^ {2} + C (x ^ {2} +1) ^ {2} + (Dx + E) (x-1) ^ {3} (x ^ {2} +1) + (Fx + G) (x-1) ^ {3} \ end {تراز شده }}}$

حالا ما برای محاسبه ضرایب از مقادیر مختلف x استفاده می کنیم:

${\ displaystyle {\ start {موارد} 4 = 4C & x = 1 \\ 2 + 2i = (Fi + G) (2 + 2i) & x = i \\ 0 = A-B + CEG & x = 0 \ پایان {موارد}} }$

با حل این موارد ما:

${\ displaystyle {\ start {موارد} C = 1 \\ F = 0 ، G = 1 \\ E = AB \ پایان {موارد}}}$

با استفاده از این مقادیر می توان نوشت:

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} 2x ^ {6} -4x ^ {5} & + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = \\ [4pt] & = A (x-1) ^ {2} (x ^ {2} +1) ^ {2} + B (x-1) (x ^ {2} +1) ^ {2} + (x ^ {2} +1) ^ {2} + (x ^ {2} +1) 1) ^ {2} + (Dx + (AB)) (x-1) ^ {3} (x ^ {2} +1) + (x-1) ^ {3} \\ [4pt] & = (A + د) x ^ {6} + (- A-3D) x ^ {5} + (2B + 4D + 1) x ^ {4} + (- 2B-4D + 1) x ^ {3} + (- - A + 2B + 3D-1) x ^ {2} + (A-2B-D + 3) x \ end {تراز شده}}}$

ضرایب x 6 و x 5 را در هر دو طرف مقایسه می کنیم و این موارد را داریم:

${\ displaystyle {\ start {موارد} A + D = 2 \\ - A-3D = -4 \ پایان {موارد}} \ quad \ Rightarrow \ quad A = D = 1.}$

از این رو:

${\ displaystyle 2x ^ {6} -4x ^ {5} + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = 2x ^ {6} -4x ^ {5} + (2B +) 5) x ^ {4} + (- 2B-3) x ^ {3} + (2B + 1) x ^ {2} + (- 2B + 3) x}$

که به ما B = 0 می دهد. بنابراین تجزیه کسری جزئی توسط:

$f (x) = x ^ 2 + 3x + 4 + \ frac {1} {(x-1)} + \ frac {1} {(x - 1) ^ 3} + \ frac {x + 1} {x ^ 2 + 1} + \ frac {1} {(x ^ 2 + 1) ^ 2}.$

متناوباً ، به جای گسترش ، می توان وابستگی های خطی دیگری به ضرایب محاسبه برخی مشتقات در

${\ displaystyle x = 1 ، \ imath}$ در هویت چند جمله ای فوق (برای این منظور ، به یاد بیاورید که مشتق در x = a از ( x - a ) m p ( x ) اگر m > 1 از بین برود و فقط p ( a ) برای m = 1 باشد.) به عنوان مثال مشتق اول در x = 1 می دهد

$2 \ cdot 6-4 \ cdot 5 + 5 \ cdot 4-3 \ cdot 3 + 2 + 3 = A \ cdot (0 + 0) + B \ cdot (4 + 0) + 8 + D \ cdot 0$

یعنی 8 = 4 B + 8 بنابراین B = 0.

مثال 4 (روش باقیمانده) [ ویرایش ]

$f (z) = \ frac {z ^ {2} -5} {(z ^ 2-1) (z ^ 2 + 1)} = \ frac {z ^ {2} -5} {(z + 1) (z-1) (z + i) (zi)}$

بنابراین ، f ( z ) را می توان به توابع منطقی تجزیه کرد که مخرج آنها z +1 ، z -1 ، z + i ، z −i هستند. از آنجا که هر اصطلاح دارای قدرت یک است ، −1 ، 1 ، - من و من قطب های ساده ای هستند.

از این رو ، باقی مانده های مرتبط با هر قطب ، داده شده توسط

${\ displaystyle {\ frac {P (z_ {i})} {Q '(z_ {i})}}} = {\ frac {z_ {i} ^ {2} -5} {4z_ {i} ^ {3 }}} ،}$

هستند

${\ displaystyle 1، -1، {\ tfrac {3i} {2}} ، - {\ tfrac {3i} {2}} ،}$

به ترتیب ، و

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {z + 1}} - {\ frac {1} {z-1}} + {\ frac {3i} {2}} {\ frac {1} {z + i}} - {\ frac {3i} {2}} {\ frac {1} {zi}}.}$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_fraction_decomposition

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی