ریاضیات

بیانیه [ ویرایش ]

قضیه  -  بگذارید f و g چند جمله ای غیر صفر در یک قسمت K باشند . g را به عنوان محصولی از قدرت های چند جمله ای قابل تفکیک مجزا بنویسید :

هستند (منحصر به فرد) چند جمله ای وجود دارد ب و IJ با درجه IJ <درجه ص من به طوری که

اگر deg f g ، پس b = 0 است .

منحصر به فرد بودن به شرح زیر قابل اثبات است. بگذارید( d = max (1 + deg f ، deg g باشد. همه با هم ، b و a ij ضرایب d دارند . شکل تجزیه یک نقشه خطی از بردارهای ضریب تا چند جمله ای f درجه کمتر از d را تعریف می کند . اثبات وجود به معنای تصنیفی بودن این نقشه است . از آنجا که دو فضای بردار دارای ابعاد یکسانی هستند ، نقشه نیز تأثیرگذار است که به معنای منحصر به فرد تجزیه است. به هر حال ، این اثبات الگوریتمی را برای محاسبه تجزیه از طریق القا می کندجبر خطی .

اگر K زمینه است اعداد مختلط از قضیه اساسی جبر بدان معناست که تمام ص من یک درجه، و تمام صورت کسرهاثابت هستند وقتی K زمینه اعداد واقعی است ، بعضی از p i ممکن است درجه دوم باشد ، بنابراین ، در تجزیه کسر جزئی ، ضرایب چند جمله ای خطی توسط قدرت چند جمله ای های درجه دوم نیز ممکن است رخ دهد.

در قضیه قبلی ، یکی می تواند جایگزین "چند جمله ای های قابل تفکیک غیرقابل کاهش" با " چند جمله ای های تقلبی جفتی شود که با مشتق خود تقلید هستند". به عنوان مثال، ص من ممکن است عوامل فاکتور رایگان مربع از گرم . وقتی K زمینه اعداد منطقی است ، همانطور که معمولاً در جبر رایانه ای وجود دارد ، این اجازه می دهد تا با محاسبه تجزیه کسری جزئی ، فاکتورهای بزرگ را محاسبه کنیم.

برنامه برای ادغام نمادین [ ویرایش ]

به منظور ادغام نمادین ، ممکن است نتیجه قبلی اصلاح شود

قضیه  -  بگذارید f و g چند جمله ای غیر صفر در یک قسمت K باشند . g را به عنوان محصولی از قدرت چند جمله ای های تقلبی دو به دو بنویسید که هیچ ریشه چندگانه ای در یک زمینه بسته از نظر جبری ندارند:

چند جمله ای b و c ij (منحصر به فرد) با deg  c ij  p i وجود دارد به گونه ای که

جایی که مشتق از را نشان می دهد 

این باعث می شود محاسبه پادزیر یک تابع منطقی تا یکپارچه سازی آخرین مقدار جمع شود ، که به آن قسمت لگاریتمی گفته می شود ، زیرا ضد اشتقاق آن ترکیبی خطی از لگاریتم است. در واقع ، ما داریم

روشهای مختلفی برای محاسبه تجزیه فوق وجود دارد. روشی که ساده ترین توصیف آن است احتمالاً روش اصطلاحاً هرمیت است. همانطور که درجه c ij به درجه p i محدود می شود ، و درجه b تفاوت درجه f و g است (اگر این تفاوت غیر منفی باشد ، در غیر این صورت ، b = 0) ، می توان این ناشناخته ها را نوشت چند جمله ای ها به عنوان چند جمله ها با ضرایب ناشناخته. کاهش دو عضو فرمول فوق به یک مخرج و نوشتن ضرایب هر توان x در دو عدد یکسان است ، یک سیستم از معادلات خطی بدست می آید که برای بدست آوردن مقادیر مطلوب برای ضرایب ناشناخته قابل حل است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_fraction_decomposition