ادامه آزمون نسبت

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه هجدهم دی ۱۳۹۹ | 13:4

برنامه های افزودنی برای L = 1 [ ویرایش ]

همانطور که در مثال قبلی مشاهده شد ، هنگامی که حد نسبت 1 باشد ، ممکن است آزمون نسبت بی نتیجه باشد ، با این وجود ، الحاقات به تست نسبت ، گاهی اوقات به شخص اجازه می دهد تا با این پرونده برخورد کند. [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11]

در تمام آزمون های زیر یکی فرض می شود که Σ N مبلغ با مثبت است N . این آزمایشات همچنین ممکن است در مورد هر سری با تعداد محدود عبارات منفی اعمال شود. چنین مجموعه هایی ممکن است به صورت زیر نوشته شوند:

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} = \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} + \ sum _ {n = N + 1} ^ { \ infty} a_ {n}}$

که در آن N بالاترین نمایه مدت منفی است. اولین عبارت در سمت راست یک مقدار جزئی است که متناهی خواهد بود ، و بنابراین همگرایی کل سری با خواص همگرایی عبارت دوم در سمت راست تعیین می شود ، که ممکن است مجدداً نمایه شود تا مجموعه ای از همه اصطلاحات مثبت که از n = 1 شروع می شوند.

هر آزمون یک پارامتر آزمون (ρ n ) را تعریف می کند که رفتار آن پارامتر مورد نیاز برای ایجاد همگرایی یا واگرایی را مشخص می کند. برای هر آزمون ، فرم ضعیف تری از آزمون وجود دارد که در عوض محدودیت هایی را برای lim n-> ∞ ρ n ایجاد می کند .

همه این آزمایشات دارای مناطقی هستند که در توصیف خصوصیات همگرایی na n موفق نمی شوند . در واقع ، هیچ تست همگرایی نمی تواند خصوصیات همگرایی سری را به طور کامل توصیف کند. [4] [10] این بدان دلیل است که اگر na n همگرا باشد ، می توان سری دوم همگرای nb n را پیدا کرد که کندتر همگرا شود: یعنی دارای خاصیتی باشد که lim n-> ∞ (b n / a n ) = بعلاوه ، اگر na n واگرایی باشد ، می توان سری دوم واگرای nb n را پیدا کرد که کندتر واگرایی می کند: یعنی دارای خاصیتی است که lim n-> ∞ (b n / a n) = 0. آزمون های همگرایی اساساً از آزمون مقایسه در برخی از خانواده های خاص n استفاده می کنند و برای توالی هایی که کندتر همگرایی یا واگرایی دارند با شکست روبرو می شوند.

سلسله مراتب دی مورگان [ ویرایش ]

آگوستوس دی مورگان سلسله مراتبی از آزمون های نوع نسبت را ارائه داد [4] [9]

پارامترهای آزمون نسبت ( $\ rho_n$ ) در زیر همه موارد به طور کلی شامل فرم می باشد ${\ displaystyle D_ {n} a_ {n} / a_ {n + 1} -D_ {n + 1}}$ . این اصطلاح ممکن است در ضرب شود $a_ {n + 1} / a_n$ تسلیم شدن ${\ displaystyle D_ {n} -D_ {n + 1} a_ {n + 1} / a_ {n}}$ . این اصطلاح می تواند در تعریف پارامترهای آزمون جایگزین اصطلاح سابق شود و نتیجه گیری های انجام شده ثابت خواهد ماند. بر این اساس ، هیچ تفاوتی بین مراجعی که از یک یا فرم دیگر پارامتر آزمون استفاده می کنند ، قائل نخواهد شد.

1. آزمون نسبت d'Alembert [ ویرایش ]

اولین آزمون در سلسله مراتب دی مورگان آزمون نسبت است که در بالا توضیح داده شده است.

2. آزمون رابه [ ویرایش ]

این تمدید به دلیل جوزف لودویگ رابه است . تعریف کردن:

${\ displaystyle \ rho _ {n} \ equ n \ چپ ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ راست)}$

(و برخی اصطلاحات اضافی ، مراجعه کنید به علی ، بلکبرن ، فلد ، دوریس (هیچکدام) ، دوریس 2)

این مجموعه: [7] [10] [9]

وقتی c> 1 وجود دارد به گونه ای جمع شوید که به گونه ای باشد ${\ displaystyle \ rho _ {n} \ geq c}$ برای همه N> N .
هنگامی که واگرایی کنید ${\ displaystyle \ rho _ {n} \ leq 1}$ برای همه N> N .
در غیر این صورت ، این آزمون بی نتیجه است.

برای نسخه محدود ، [12] این مجموعه:

اگر همگرایی کنید ${\ displaystyle \ rho = \ lim _ {n \ to \ infty} \ rho _ {n}> 1}$ (این مورد ρ = includes را شامل می شود )
واگرایی کنید اگر ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ rho _ {n} <1}$ .
اگر ρ = 1 باشد ، آزمون بی نتیجه است.

وقتی حد فوق وجود نداشته باشد ، ممکن است از محدودیت های برتر و فرومایه استفاده شود. [4] این مجموعه:

اگر همگرایی کنید ${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} \ rho _ {n}> 1}$
واگرایی کنید اگر ${\ displaystyle \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} \ rho _ {n} <1}$
در غیر این صورت ، این آزمون بی نتیجه است.

اثبات آزمایش رابه [ ویرایش ]

تعریف کردن ${\ displaystyle \ rho _ {n} \ equ n \ چپ ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ راست)}$ ، ما لازم نیست حد را حدس بزنیم. اگر ${\ displaystyle \ limsup \ rho _ {n} <1}$ ، سپس $\ sum a_ {n}$ واگرایی دارد ، در حالی که اگر ${\ displaystyle \ liminf \ rho _ {n}> 1}$ جمع جمع می شود.

اثبات اساساً با مقایسه با ادامه می یابد ${\ displaystyle \ sum 1 / n ^ {R}}$ . اول فرض کنید که ${\ displaystyle \ limsup \ rho _ {n} <1}$ . البته اگر ${\ displaystyle \ limsup \ rho _ {n} <0}$ سپس ${\ displaystyle a_ {n + 1} \ geq a_ {n}}$ برای بزرگ $n$ ، بنابراین مجموع واگرایی می کند. فرض کنید که ${\ displaystyle 0 \ leq \ limsup \ rho _ {n} <1}$ . وجود دارد $R <1$ به طوری که ${\ displaystyle \ rho _ {n} \ leq R}$ برای همه $n \ geq N$ ، که برای گفتن آن است ${\ displaystyle a_ {n} / a_ {n + 1} \ leq \ left (1 + {\ frac {R} {n}} \ right) \ leq e ^ {R / n}}$ . بدین ترتیب ${\ displaystyle a_ {n + 1} \ geq a_ {n} e ^ {- R / n}}$ ، که حاکی از آن است ${\ displaystyle a_ {n + 1} \ geq a_ {N} e ^ {- R (1 / N + \ dots + 1 / n)} \ geq ca_ {N} e ^ {- R \ log (n)} = ca_ {N} / n ^ {R}}$ برای $n \ geq N$ ؛ از آنجا که $R <1$ این نشان می دهد که $\ sum a_ {n}$ واگرایی

اثبات نیمه دیگر کاملاً مشابه است ، و بیشتر نابرابری ها به سادگی برعکس شده اند. برای استفاده در جای ساده به یک نابرابری اولیه نیاز داریم ${\ displaystyle 1 + t <e ^ {t}}$ که در بالا استفاده شد: رفع $R$ و $ن$ . توجه داشته باشید که ${\ displaystyle \ log \ left (1 + {\ frac {R} {n}} \ right) = {\ frac {R} {n}} + O \ چپ ({\ frac {1} {n ^ {2 }}}\درست)}$ . بنابراین ${\ displaystyle \ log \ left (\ left (1 + {\ frac {R} {N}} \ right) \ dots \ left (1 + {\ frac {R} {n}} \ right) \ right) = R \ چپ ({\ frac {1} {N}} + \ نقطه + {\ frac {1} {n}} \ راست) + O (1) = R \ log (n) + O (1)}$ ؛ از این رو ${\ displaystyle \ left (1 + {\ frac {R} {N}} \ right) \ dots \ left (1 + {\ frac {R} {n}} \ right) \ geq cn ^ {R}}$ .

حالا فرض کنید که ${\ displaystyle \ liminf \ rho _ {n}> 1}$ . با استدلال در پاراگراف اول ، با استفاده از نابرابری ایجاد شده در پاراگراف قبلی ، می بینیم که وجود دارد $R> 1$ به طوری که ${\ displaystyle a_ {n + 1} \ leq ca_ {N} n ^ {- R}}$ برای $n \ geq N$ ؛ از آنجا که $R> 1$ این نشان می دهد که $\ sum a_ {n}$ همگرا می شود.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی