استقلال خطی ، مبانی (جبر خطی) و ابعاد (فضای بردار)

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و نهم مهر ۱۳۹۹ | 9:29

استقلال ، مبنا و بعد [ ویرایش ]

مقالات اصلی: استقلال خطی ، مبانی (جبر خطی) و ابعاد (فضای بردار)

بردارهای u و v مبنایی برای این فضای دو بعدی R 3 هستند .

به طور کلی ، یک فضای خالی از K n که توسط پارامترهای k تعیین می شود (یا توسط بردارهای k پوشانده می شود ) دارای بعد k است . با این حال ، استثنائاتی در این قانون وجود دارد. به عنوان مثال ، فضای زیر K 3 که توسط سه بردار (1 ، 0 ، 0) ، (0 ، 0 ، 1) و (2 ، 0 ، 3) پوشانده شده است ، فقط هواپیمای xz است ، با هر نقطه در صفحه با بی نهایت مقادیر مختلف t 1 ، t 2 ، t 3 توصیف شده است .

به طور کلی ، بردارهای v 1 ، ... ،  v k را خطی مستقل می نامیم اگر

${\ displaystyle t_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \ cdots + t_ {k} \ mathbf {v} _ {k} \؛ \ neq \؛ u_ {1} \ mathbf {v} _ { 1} + \ cdots + u_ {k} \ mathbf {v} _ {k}}$

برای ( t 1 ،  t 2 ، ... ،  t k ) ≠ ( u 1 ،  u 2 ، ... ،  u k ). [12] اگر v 1 ، ...، v k بصورت خطی مستقل باشند ، مختصات t 1 ، ...، t k برای یک بردار در دهانه به طور منحصر به فرد تعیین می شوند.

اساس برای یک فضا S مجموعه ای از بردارهای مستقل خطی که طول است S . تعداد عناصر موجود در یک پایه همیشه با بعد هندسی فضای زیر برابر است. با حذف بردارهای زائد ، می توان هر مجموعه پوششی را برای یک فضای زیربنایی تغییر داد ( برای اطلاعات بیشتر به gor الگوریتم های زیر مراجعه کنید).

مثال

اجازه دهید S شود فضا از R 4 تعریف شده توسط معادلات

$x_ {1} = 2x_ {2} \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ {\ text {and}} \؛ \؛ \؛ \؛ x؛ {3} = 5x_ {4}.$

سپس بردارها (2 ، 1 ، 0 ، 0) و (0 ، 0 ، 5 ، 1) مبنایی برای S هستند . به طور خاص ، هر بردار را که معادلات فوق را برآورده می کند ، می توان به صورت ترکیبی خطی از دو بردار پایه نوشت:

${\ displaystyle (2t_ {1}، t_ {1}، 5t_ {2}، t_ {2}) = t_ {1} (2،1،0،0) + t_ {2} (0،0،5 ، 1).}$

فضای فرعی S دو بعدی است. از نظر هندسی ، صفحه ای است که در R 4 از نقاط (0 ، 0 ، 0 ، 0) ، (2 ، 1 ، 0 ، 0) و (0 ، 0 ، 5 ، 1) عبور می کند.

عملیات و روابط در زیر فضاها [ ویرایش ]

گنجاندن [ ویرایش ]

گنجاندن مجموعه ای نظری رابطه دوتایی یک مشخص ترتیب جزئی در مجموعه ای از تمام زیرفضاهای (از هر بعد).

یک زیرفضا نمی تواند در هیچ زیر فضایی از بعد کمتر قرار داشته باشد. اگر کم نور U = k ، یک عدد محدود و U ⊂ W باشد ، اگر W = k کم باشد اگر و فقط اگر U = W باشد.

تقاطع [ ویرایش ]

در R 3 ، تقاطع دو زیر فضای متمایز دو بعدی یک بعدی است

با توجه به زیر فضاهای U و W از یک فضای بردار V ، سپس تقاطع آنها U ∩ W : = { v ∈ V : v عنصر هر دو U و W } نیز یک زیر فضای V است . [13]

اثبات:

بگذارید v و w عناصر U ∩ W باشند . سپس v و w متعلق به هر دو U و W هستند . از آنجا که U یک زیر فضایی است ، بنابراین v + w متعلق به U است . به همین ترتیب ، از آنجا که W یک زیر فضایی است ، بنابراین v + w متعلق به W است . بنابراین ، v + w متعلق به U ∩ W است .
اجازه دهید پنجم متعلق به U ∩ W ، و اجازه دهید سی یک عددی. سپس v متعلق به U و W است . از آنجا که U و W زیر فضایی هستند ، c v متعلق به U و W است .
از آنجا که U و W فضایی بردار هستند ، بنابراین 0 متعلق به هر دو مجموعه است. بنابراین، 0 متعلق به U ∩ W .

برای هر فضای برداری V ، مجموعه { 0 } و V خود خرده فضای V هستند . [14] [8]

جمع [ ویرایش ]

اگر U و W زیر فضایی باشند ، مجموع آنها زیر فضایی است

$U + W = \ چپ \ {\ mathbf {u} + \ mathbf {w} \ colon \ mathbf {u} \ در U ، \ mathbf {w} \ در W \ راست \}$ [15] [16]

به عنوان مثال ، مجموع دو خط صفحه ای است که هر دو را شامل می شود. بعد جمع نابرابری را برآورده می کند

$\ max (\ dim U ، \ dim W) \ leq \ dim (U + W) \ leq \ dim (U) + \ dim (W).$

در اینجا ، حداقل در صورتی اتفاق می افتد که یک زیر فضایی در دیگری موجود باشد ، در حالی که حداکثر کلی ترین حالت است. بعد تقاطع و جمع با معادله زیر مرتبط هستند:

$\ dim (U + W) = \ dim (U) + \ dim (W) - \ dim (U \ cap W).$ [17]

شبکه زیر فضایی [ ویرایش ]

تقاطع عملیاتی و مجموع ، مجموعه همه زیر فضاها را به یک شبکه مدولار محدود تبدیل می کند ، جایی که {0} زیر فضایی ، کمترین عنصر ، عنصر هویتی عملیات جمع است و فضای خالی یکسان V ، بزرگترین عنصر ، یک عنصر هویتی است از عملیات تقاطع.

مکمل های متعامد [ ویرایش ]

اگر V یک IS فضای ضرب داخلی و N یک زیر مجموعه از است V ، سپس مکمل متعامد از N ، مشخص ${\ displaystyle N ^ {\ bot}}$ ، [16] دوباره یک فضای خرده فضایی است. [18] اگر V متناهی باشد و N یک فضای فرعی باشد ، ابعاد N و ${\ displaystyle N ^ {\ bot}}$ برقراری رابطه مکمل کم نور ( N ) + کم نور ( N ⊥ ) = کم نور ( V ) . [19] علاوه بر این ، هیچ بردار برای خود متعامد نیست ، بنابراین ${\ displaystyle N \ cap N ^ {\ perp} = \ {0 \}}$ و V است مجموع مستقیم از N و ${\ displaystyle N ^ {\ bot}}$ . [20] استفاده از مکمل های متعامد دو بار فضای زیر اصلی را برمی گرداند: ${\ displaystyle (N ^ {\ bot}) ^ {\ bot} = N}$ برای هر فضا N . [21]

این عملیات ، که به عنوان نفی (¬) شناخته می شود ، باعث می شود شبکه زیر فضاها به یک شبکه ارتو تکمیل شده (احتمالاً بی نهایت ) تبدیل شود (اگرچه یک شبکه توزیعی نیست). [ نیاز به منبع ]

در فضاهایی با سایر اشکال دو خطی ، هنوز بعضی از این نتایج همچنان ادامه ندارد. به عنوان مثال ، در فضاهای شبه اقلیدسی و فضاهای بردار متمرکز ، مکمل های متعامد وجود دارند. با این حال ، این فضاها ممکن است بردارهای پوچ داشته باشند که نسبت به خودشان متعامد هستند ، و در نتیجه زیر فضاهای N وجود دارد که

${\ displaystyle N \ cap N ^ {\ bot} \ neq \ {0 \}}$ . در نتیجه ، این عملیات شبکه فضاهای فرعی را به جبر بولی (و نه جبر Heyting ) تبدیل نمی کند. [ نیاز به منبع ]

الگوریتم ها [ ویرایش ]

اکثر الگوریتم های مربوط به کار با زیر فضاها شامل کاهش سطر هستند . این فرآیند اعمال عملیات سطر ابتدایی به یک ماتریس است ، تا زمانی که به فرم ردیف ردیف یا فرم ردیف کاهش یافته برسد . کاهش ردیف دارای خواص مهم زیر است:

ماتریس کاهش یافته همان فضای نول اصلی را دارد.
کاهش ردیف باعث تغییر دامنه بردارهای ردیف نمی شود ، یعنی ماتریس کاهش یافته همان فضای ردیف اصلی را دارد.
کاهش ردیف بر وابستگی خطی بردارهای ستون تأثیر نمی گذارد.

مبانی فضای ردیف [ ویرایش ]

ورودی متر  ×  N ماتریس .

خروجی مبنای فضای ردیف A است .

برای قرار دادن A در فرم سطر سطر ، از عملیات سطر ابتدایی استفاده کنید .
ردیف های غیر صفر شکل پله ای مبنایی برای فضای ردیف A است .

برای مثال به مقاله فضای ردیف مراجعه کنید .

اگر به جای آن ماتریس A را به شکل سطر کاهش یافته ردیف قرار دهیم ، پس مبنای حاصل برای فضای ردیف به طور منحصر به فردی تعیین می شود. این یک الگوریتم برای بررسی مساوی بودن دو فاصله ردیف و یا با گسترش ، برابر بودن دو زیر فضای K n فراهم می کند.

عضویت در زیر فضا [ ویرایش ]

ورودی A مبنای { b 1 ، b 2 ، ... ، b k } برای یک زیر فضای S از K n ، و یک بردار v با n م componentsلفه.

خروجی تعیین می کند که آیا v عنصر S است

درست ( K + 1) ×  N ماتریس که ردیف بردار ب 1 ، ...،  ب ک و پنجم .
برای قرار دادن A در فرم سطر سطر ، از عملیات سطر ابتدایی استفاده کنید .
اگر به شکل پلکانی است یک ردیف از صفر، سپس بردار { ب 1 ، ...، ب ک ، V } خطی وابسته هستند و بنابراین V ∈ S .

مبانی فضای ستونی [ ویرایش ]

ورودی متر  ×  N ماتریس

خروجی مبنای فضای ستون A

برای قرار دادن A در فرم سطر سطر ، از عملیات سطر ابتدایی استفاده کنید .
مشخص کنید که کدام ستونها از فرم پستی دارای محور هستند . ستون های مربوط به ماتریس اصلی مبنایی برای فضای ستون هستند.

برای مثال به مقاله فضای ستون مراجعه کنید .

این مبنایی برای فضای ستون ایجاد می کند که زیر مجموعه ای از بردارهای اصلی ستون است. این کار به این دلیل انجام می شود که ستون های دارای پیچ محوری برای فضای ستون شکل سطح هستند و کاهش ردیف روابط وابستگی خطی بین ستون ها را تغییر نمی دهد.

مختصات یک بردار [ ویرایش ]

ورودی A مبنای { b 1 ، b 2 ، ... ، b k } برای یک فضای زیر S از K n و یک بردار v ∈ S

اعداد خروجی t 1 ، t 2 ، ...، t k به گونه ای که v = t 1 b 1 + ··· + t k b k

یک ماتریس افزوده A ایجاد کنید که ستون های آن b 1 ، ... ، b k باشد ، آخرین ستون v باشد.
برای قرار دادن A در فرم سطر کاهش یافته از سطرهای ابتدایی استفاده کنید .
ستون نهایی شکل سطح پایین را به عنوان یک ترکیب خطی از ستون های K بیان کنید . ضرایب استفاده شده اعداد مورد نظر t 1 ، t 2 ، ...، t k است . (این باید دقیقاً اولین ورودی های k در ستون آخر شکل سطح پایین باشد.)

اگر ستون نهایی فرم ردیف کاهش یافته دارای یک محور باشد ، بردار ورودی v در S قرار نمی گیرد .

مبنای یک فضای خالی [ ویرایش ]

ورودی متر  ×  N ماتریس .

خروجی مبنایی برای فضای خالی A

برای قرار دادن A در فرم ردیف کاهش یافته از ردیف های ابتدایی استفاده کنید .
با استفاده از فرم ردیف کاهش یافته ، تعیین کنید که کدام یک از متغیرهای x 1 ، x 2 ، ... ، x n آزاد است. معادلات مربوط به متغیرهای وابسته را از نظر متغیرهای آزاد بنویسید.
برای هر متغیر آزاد x i ، یک بردار در فضای null انتخاب کنید که x i = 1 برای آن و متغیرهای آزاد باقی مانده صفر است. مجموعه بردارهای بدست آمده مبنایی برای فضای خالی A است .

برای مثال به مقاله فضای خالی نگاه کنید .

مبنای جمع و تقاطع دو زیر فضای [ ویرایش ]

با توجه به دو زیر فضای U و W از V ، مبنای جمع $U + W$ و تقاطع $U \ cap W$ با استفاده از الگوریتم Zassenhaus قابل محاسبه است

معادلات یک زیرفضا [ ویرایش ]

ورودی A مبنای { b 1 ، b 2 ، ... ، b k } برای یک فضای زیر S از K n

خروجی یک ماتریس ( n - k ) ×  n که فضای خالی آن S است .

یک ماتریس A ایجاد کنید که ردیف های آن b 1 ، b 2 ، ... ، b k باشد .
برای قرار دادن A در فرم سطر کاهش یافته از سطرهای ابتدایی استفاده کنید .
بگذارید c 1 ، c 2 ، ... ، c n ستونهای شکل ردیف کاهش یافته باشد. برای هر ستون بدون محوری ، یک معادله بنویسید که ستون را بصورت ترکیبی خطی از ستونها با محورها بیان کند.
این منجر به ایجاد یک سیستم همگن از معادلات خطی n - k می شود که متغیرهای c 1 ، ...، c n را در بر می گیرد . ( N - K ) × N ماتریس مربوط به این سیستم ماتریس مورد نظر را با nullspace است S .

مثال

اگر فرم ردیف کاهش یافته A باشد

$\ چپ [{\ شروع {ترازو} {6} 1 && 0 && - 3 && 0 && 2 && 0 \\ 0 && 1 && 5 && 0 && - 1 && 4 \\ 0 && 0 && 0 && 1 && 7 && - 9 \\ 0 && \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ 0 && \؛ 0 ؛& ؛؛؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ 0 && \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ 0 && \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ 0 \ end {تراز شده}} \ \ ، \ راست]$

سپس بردارهای ستون c 1 ، ...، c 6 معادلات را برآورده می کنند

${\ start {همسطح} {1} \ mathbf {c} _ {3} & = - 3 \ mathbf {c} _ {1} +5 \ mathbf {c} _ {2} \\\ mathbf {c} _ {5} & = 2 \ mathbf {c} _ {1} - \ mathbf {c} _ {2} +7 \ mathbf {c} _ {4} \\\ mathbf {c} _ {6} & = 4 \ mathbf {c} _ {2} -9 \ mathbf {c} _ {4} \ end {تراز شده}}$

نتیجه می شود که بردارهای ردیف A معادلات را برآورده می کنند

${\ start {تراز شده}} {1} x_ {3} & = - 3x_ {1} + 5x_ {2} \\ x_ {5} & = 2x_ {1} -x_ {2} + 7x_ {4} \\ x_ {6} & = 4x_ {2} -9x_ {4}. \ end {تراز شده}}$

به طور خاص ، بردارهای ردیف A مبنایی برای فضای خالی ماتریس مربوطه هستند.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_subspace

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی