ادامه جبر خارجی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه هجدهم مهر ۱۳۹۹ | 12:14

تعاریف رسمی و خصوصیات جبری [ ویرایش ]

جبر بیرونی Λ ( V ) از یک فضای برداری V بیش از یک زمینه K است که به عنوان تعریف جبر خارج قسمت از تانسور جبر T ( V ) توسط دو طرفه ایده آل من تولید شده توسط همه عناصر از فرم X ⊗ X برای X ∈ V (یعنی تمام سنسورهایی که می توانند به تنهایی به عنوان محصول تنسور بردار در V بیان شوند). [7] ایده آل I شامل ایده آل J است که توسط عناصر فرم تولید می شود

${\ displaystyle x \ otimes y + y \ otimes x = (x + y) \ otimes (x + y) -x \ otimes xy \ otimes y}$ و این آرمانها با هم منطبق می شوند اگر (و فقط اگر) ${\ displaystyle \ operatorname {char} (K) \ neq 2}$ :

${\ displaystyle I \ supseteq J {\ text {with equal iff}} \ operatorname {char} (K) \ neq 2}$ .

ما تعریف می کنیم

${\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} (V) = T (V) / I}$

این محصول بیرونی ∧ از دو عنصر از Λ ( V ) کالا ناشی از ضرب تانسوری است ⊗ از T ( V ) . یعنی اگر

${\ displaystyle \ pi: T (V) \ به {\ textstyle \ bigwedge} (V) = T (V) / I}$

است تابع پوشا متعارف و و ب در می Λ ( V ) ، پس از آن وجود دارد $آلفا$ و $\ بتا$ در T ( V ) به گونه ای که ${\ displaystyle a = \ pi (\ alpha)}$ و ${\ displaystyle b = \ pi (\ beta) ،}$ و

${\ displaystyle a \ wedge b = \ pi (\ alpha \ otimes \ beta).}$

این از تعریف جبر کمی حاصل می شود که مقدار آن $a \ گوه ب$ به یک انتخاب خاص بستگی ندارد $آلفا$ و $\ بتا$ . ما (در همه ویژگی ها) ${\ displaystyle x \ otimes y = -y \ otimes x {\ bmod {I}}}$ .

به عنوان T 0 = K ، T 1 = V ، و ${\ displaystyle \ چپ (T ^ {0} (V) \ oplus T ^ {1} (V) \ right) \ cap I = \ {0 \}}$ ، اجزا K و V در T ( V ) باعث تزریق K و V به Λ ( V ) می شود . این تزریقات معمولاً به عنوان اجزا در نظر گرفته می شوند و به آنها تعبیه طبیعی ، تزریق طبیعی یا اجزا natural طبیعی می گویند . کلمه canonical نیز معمولاً به جای طبیعی استفاده می شود .

محصول جایگزین [ ویرایش ]

محصول خارجی با ساخت متناوب عناصر V صورت می گیرد ، به این معنی که x ∧ x = 0 برای کل x ∈ V ، توسط ساختار فوق. این شرح است که محصول نیز anticommutative در عناصر V ، برای این فرض که X ، Y ∈ V ،

$0 = (x + y) \ گوه (x + y) = x \ گوه x + x \ گوه y + y \ گوه x + y \ گوه y = x \ گوه y + y \ گوه x$

از این رو

${\ displaystyle x \ wedge y = - (y \ wedge x).}$

به طور کلی ، اگر σ یک جایگزینی از اعداد صحیح است [1 ، ... ، k ] ، و x 1 ، x 2 ، ... ، x k عناصر V هستند ، از این امر نتیجه می شود که

${\ displaystyle x _ {\ sigma (1)} \ wedge x _ {\ sigma (2)} \ wedge \ cdots \ wedge x _ {\ sigma (k)} = \ operatorname {sgn} (\ sigma) x_ {1} \ wedge x_ {2} \ wedge \ cdots \ wedge x_ {k}،}$

که در آن sgn ( σ ) امضای جایگزینی σ است . [8]

به طور خاص ، اگر x i = x j برای برخی i ≠ j ، پس تعمیم زیر از ویژگی متناوب نیز صدق می کند:

${\ displaystyle x_ {1} \ wedge x_ {2} \ wedge \ cdots \ wedge x_ {k} = 0.}$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی