ادامه نظریه هاج

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه دوم شهریور ۱۳۹۹ | 1:1

نظریه هاج برای گونه های پیچیده پروژکتور [ ویرایش ]

بگذارید X یک منیفولد پروژکتور پیچیده و روان باشد ، به این معنی که X یک زیر مجموعه بسته پیچیده از برخی از فضای پیچیده پروژکتور CP N است . با قضیه چو ، منیفولدهای پروژکتور پیچیده به طور خودکار جبری هستند: آنها با از بین رفتن معادلات چند جملهای همگن در CP N تعریف می شوند . استاندارد ریمان متریک در CP N باعث متریک ریمانی در X است که سازگاری قوی با ساختار پیچیده، ساخت X چند برابر Kahler از .

برای چند برابر کردن پیچیده X و یک عدد طبیعی R ، هر C ∞ R دندانی در X (با ضرایب مختلط) را می توان منحصر به فرد به عنوان مجموع نوشته اشکال نوع ( ص ، س ) با P + Q = R ، به این معنی که اشکال به صورت محلی می تواند به صورت متناهی از اصطلاحات نوشته شود ، و هر اصطلاح فرم را دریافت می کند

${\ displaystyle f \، dz_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dz_ {p} \ wedge d {\ overline {w_ {1}}} \ wedge \ cdots \ wedge d {\ overline {w_ {q}}} }$

با F و C ∞ تابع و Z بازدید کنندگان و عرض بازدید کنندگان توابع هولومورفیک . در یک منیفولد Kähler ، اجزای ( p ، q ) یک فرم هارمونیک دوباره هارمونیک هستند. بنابراین، برای هر جمع و جور Kahler از منیفولد X از هاج قضیه می دهد تجزیه های cohomology از X با ضرایب مختلط به عنوان یک مجموع مستقیم فضاهای برداری پیچیده: [7]

$\ displaystyle H ^ {r} (X، \ mathbf {C}) = \ bigoplus _ {p + q = r} H ^ {p، q} (X).$

این تجزیه در حقیقت مستقل از انتخاب متریک کوهلر است (اما تجزیه مشابهی برای یک منیفولد پیچیده کلی جمع و جور وجود ندارد). از سوی دیگر، تجزیه هاج واقعا در ساختار بستگی X به عنوان یک منیفولد پیچیده، در حالی که گروه H R ( X ، C ) فقط در زمینه بستگی دارد فضای توپولوژیک از X .

قطعه H ص ، س ( X ) از تجزیه هاج را می توان با شناسایی منسجم بافه های cohomology گروه، که تنها در بستگی دارد X به عنوان یک منیفولد پیچیده (و نه در انتخاب Kahler از متریک): [8]

$\ displaystyle H ^ {p، q} (X) \ civ H ^ {q} (X، \ Omega ^ {p})،}$

که در آن Ω P نشان دهنده بافه از هولومورفیک ص -forms در X . به عنوان مثال، H ص ، 0 ( X ) فضای هولومورفیک است ص -forms در X . (اگر X تصویری است، Serre ساخته است دل شکسته قضیه نشان میدهد که یک هولومورفیک ص دندانی در تمام X در واقع جبری است.)

هاج تعداد ساعت ص ، س ( X ) به معنی بعد از این مجموعه بردار H ص . q ( X ) اینها متغیرهای مهم یک تنوع پروژکتورهای پیچیده و روان هستند. هنگامی که ساختار پیچیده X به طور مداوم تغییر می کند ، تغییر نمی کنند ، اما با این حال آنها به طور کلی متغیرهای توپولوژیکی نیستند. از جمله ویژگی های اعداد هاج می توان تقارن هاج h p ، q = ساعت q ، p (زیرا H p ، q ( X ) استمزدوج مختلط از H Q ، P ( X )) و ساعت ص ، س = ساعت N - P ، N - س (با دوگانگی Serre ساخته ).

اعداد هاج از یک نوع متغیر پروژکتور پیچیده و روان (یا منیفولد جمع و جور Kähler) را می توان در الماس هاج (در مورد بعد پیچیده 2) نشان داد:

	h	2،2
	h 2،1		h 1،2
h2،0		h1،1		h0.2
	h1،0		h0،1
		h۰

اعداد بتی از X هستند مجموع اعداد هاج در یک ردیف داده شده است. به عنوان مثال ، هر منحنی پروژکتور صاف از جنس g دارای الماس هاج است

	1
g		g
	1

برای مثال دیگر ، هر سطح K3 دارای الماس هاج است

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

یک نرم افزار اساسی نظریه هاج این است که اعداد فرد بتی ب 2 1 از انواع صاف پیچیده تصویری (یا جمع و جور منیفولد Kahler از) هستند حتی ، توسط تقارن هاج. این درست نیست برای manifolds پیچیده فشرده به طور کلی، به عنوان مثال از نشان داده شده است سطح هاف است که diffeomorphic به S 1 × S 3 و از این رو است ب 1 = 1 .

"بسته Kähler" مجموعه ای قدرتمند از محدودیت ها در گروه شناسی انواع مختلفی از پروژکتورهای پیچیده و روان است. نتایج شامل Lefschetz به قضیه ابرصفحه از سخت قضیه Lefschetz به ، و روابط دوسویه هاج ریمان . [9] نظریه هاج و الحاقاتی نظیر تئوری هاج غیر هابلی همچنین محدودیت های شدیدی را در گروه های بنیادی احتمالی منیفولدهای فشرده کوهلر ایجاد می کند.

چرخه های جبری و حدس هاج [ ویرایش ]

مقاله اصلی: حدس هاج

بگذارید X یک تنوع پروژکتور پیچیده و روان باشد. یک تابعیت Y پیچیده Y در X از codimension p یک عنصر از گروه کوه شناسی را تعریف می کند $\ displaystyle H ^ {2p} (X ، \ mathbb {Z})$ . علاوه بر این ، کلاس نتیجه یک ویژگی خاص دارد: تصویر آن در زندگی مشترک پیچیده $\ displaystyle H ^ {2p} (X ، \ mathbb {C})$ در قسمت میانی تجزیه هاج قرار دارد ، $\ displaystyle H ^ {p، p} (X)$ . حدس هاج پیش بینی صحبت: هر عنصر از $\ displaystyle H ^ {2p} (X ، \ mathbb {Z})$ تصویر آن در زندگی مشترک پیچیده در فضای فرعی نهفته است $\ displaystyle H ^ {p، p} (X)$ باید دارای یک ضرب انتگرال مثبت باشد که یک است $\ mathbb {Z$ ترکیبی -Linear طبقات subvarieties پیچیده ای از X . (چنین ترکیبی خطی یک چرخه جبری روی X نامیده می شود .)

نکته حائز اهمیت این است که تجزیه هاج یک تجزیه و تحلیل از جامعه شناسی با ضرایب پیچیده است که معمولاً از تجزیه جامعه شناسی با ضرایب انتگرال (یا منطقی) حاصل نمی شود. در نتیجه ، تقاطع

$\ displaystyle (H ^ {2p} (X ، \ mathbb {Z}) / {\ text {پیچشی}}) \ cap H ^ {p، p} (X) \ زیرمجموعه H ^ {2p} (X، \ mathbb {C})$

ممکن است بسیار کوچکتر از کل گروه باشد $\ displaystyle H ^ {2p} (X ، \ mathbb {Z}) /}$ پیچش ، حتی اگر شماره $\ displaystyle h ^ {p، p}$ بزرگ است. به طور خلاصه، حدس هاج پیش بینی کرد که ممکن است "اشکال" از subvarieties پیچیده ای از X (که توسط های cohomology توصیف) بر اساس تعیین ساختار هاج از X (ترکیبی از های cohomology جدایی ناپذیر با تجزیه هاج از های cohomology پیچیده).

نظریه Lefschetz (1،1) می گوید که حدس هاج برای p = 1 صحیح است (حتی بصورت یکپارچه ، یعنی بدون نیاز به یک مضرب انتگرال مثبت در بیانیه).

ساختار هاج انواع X توصیفی از اجزای اشکال دیفرانسیل جبری در X نسبت به کلاسهای همسانی در X است . به این معنا ، تئوری هاج با یک مسئله اساسی در محاسبه مرتبط است : به طور کلی هیچ فرمولی برای انتگرال یک عملکرد جبری وجود ندارد . به طور خاص ، انتگرال قطعی توابع جبری ، که به عنوان دوره شناخته می شوند ، می توانند اعداد متعالی باشند . مشکل حدس هاج نشان دهنده عدم درک چنین انتگرال ها به طور کلی است.

به عنوان مثال: برای صاف پیچیده تصویری سطح K3 X ، گروه H 2 ( X ، Z ) متناظر است Z 22 و H 1،1 ( X ) به ریخت است C 20 . تقاطع آنها می تواند در هر جایی بین 1 تا 20 قرار داشته باشد. این ردهبندی به نام تعداد پیکارد از X . فضای مدول از همه K3 تصویری سطوح دارای شمارا نامحدودی مجموعه ای از اجزای، هر یک از ابعاد پیچیده 19. فضا از K3 سطوح با شماره پیکارد دارای ابعاد 20-. [10] (بنابراین، برای بسیاری از سطوح K3 تصویری، تقاطع H 2 ( X ، Z ) با H 1،1 ( X ) متناظر است Z ، اما برای "ویژه" K3 سطوح تقاطع می تواند بزرگتر.)

این مثال چندین نقش مختلف را ارائه می دهد که توسط تئوری هاج در هندسه جبری پیچیده ایفا شده است. اول ، تئوری هاج محدودیت هایی را در اختیار شما قرار می دهد که فضاهای توپولوژیکی می توانند ساختار تنوع طرح ریزی پیچیده و روان را داشته باشند. دوم ، نظریه هاجج اطلاعاتی در مورد فضای مدولار انواع مختلف طرح ریزی نرم و صاف با یک نوع توپولوژیکی مشخص می دهد. بهترین حالت زمانی است که قضیه Torelli داشته باشد ، به این معنی که با ساختار Hodge ، تنوع تا ایزومورفیسم تعیین می شود. سرانجام ، تئوری هاجج اطلاعات مربوط به گروه Chow از چرخه های جبری را در مورد انواع خاص ارائه می دهد. حدس هاج در مورد تصویر نقشه چرخه استاز گروه های Chow گرفته تا جامعه شناسی معمولی ، اما نظریه هاج همچنین اطلاعاتی در مورد هسته نقشه چرخه ، به عنوان مثال با استفاده از Jacobians واسطه ای که از ساختار هاج ساخته شده است ، می دهد.

کلیات [ ویرایش ]

نظریه Mixed Hodge ، که توسط پیر Deligne توسعه یافته است ، تئوری هاج را به کلیه انواع جبر پیچیده گسترش می دهد ، لزوماً صاف یا جمع و جور نیست. یعنی ، کوه شناسی هر نوع جبر پیچیده پیچیدگی ، از نوع کلیتری در تجزیه ، ساختار ترکیبی هاج برخوردار است .

تعمیم متفاوت تئوری هاج به انواع مفرد توسط همسانی تقاطع ارائه شده است . یعنی ، Morihiko Saito نشان داد که همسانی تقاطع هر نوع تنوع پروژکتور پیچیده (لزوماً هموار) از ساختار هوج خالص ، درست مانند مورد صاف برخوردار است. در حقیقت ، کل بسته Kähler تا هومولوژی تقاطع گسترش می یابد.

جنبه اساسی هندسه پیچیده این است که خانواده های مداوم منیفولدهای پیچیده غیر ایزومورفیک (که همه به عنوان مانیفولدهای واقعی متفاوت هستند) وجود دارند. مفهوم فیلیپ گریفیتس در مورد تنوع ساختار هاج توضیح می دهد که چگونه ساختار هاج از یک نوع طرح ریزی پیچیده و صاف X متغیر است وقتی X متفاوت است. از نظر هندسی ، این به مطالعه نقشه برداری دوره مربوط به یک خانواده از انواع است. نظریه Saito در مورد ماژول هاج یک تعمیم است. تقریباً صحبت می کنیم ، یک ماژول Hodge مختلط در انواع X ، پوسته ای از ساختارهای ترکیبی هاج از X است، همانطور که از خانواده های مختلفی ایجاد می شود که نیازی به صاف یا جمع و جور ندارند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_theory

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی