در ریاضیات ، نظریه هاج ، با نام WVD هاج ، روشی برای مطالعه گروههای هماهنگی یک منیفولد صاف M با استفاده از معادلات دیفرانسیل جزئی است . نکته اصلی این است که ، با توجه به یک متریک ریمانی در M ، هر کلاس زندگی شناسی دارای یک نماینده متعارف است ، یک شکل دیفرانسیل که تحت عملگر لاپلاسی متریک از بین می رود . اینگونه اشکال هارمونیک نامیده می شود .
نظریه های هاج در 1930s به مطالعه توسعه داده شد هندسه جبری ، و آن را بر روی کار ساخته شده ژرژ دورام در د Rham های cohomology . این برنامه دارای دو کاربرد اصلی در دو تنظیم است: منیفولدهای ریمانیایی و منیفولدهای کولر . انگیزه اصلی هاج ، مطالعه انواع مختلفی از پروژکتورها ، مورد دوم را شامل می شود. تئوری هاج به ابزاری مهم در هندسه جبری ، به ویژه از طریق اتصال آن به مطالعه چرخه های جبری تبدیل شده است .
در حالی که تئوری هاج به طور ذاتی به اعداد واقعی و پیچیده وابسته است ، می توان در تئوری اعداد از سؤالات استفاده کرد . در موقعیت های حساب ، ابزارهای نظریه ها- هوایی p -adic اثبات جایگزین یا نتایج مشابه آن با نظریه کلاسیک هاج را داده اند.
فهرست
- 1تاریخ
- 2نظریه هاج برای مانیفولدهای واقعی
- 3نظریه هاج برای انواع پیچیده پروژکتور
- 4چرخه های جبری و حدس هاج
- 5کلیات
- 6یادداشت
- 7منابع
تاریخچه [ ویرایش ]
زمینه توپولوژی جبری هنوز در دهه 1920 پدیدار شده بود. اما در هر حال هنوز در حال توسعه مفهوم های cohomology ، و تعامل بین فرم های دیفرانسیل و توپولوژی درک ضعیف شد. در سال 1928 ، الی کارتان یادداشتی را با عنوان Sur les nombres de Betti des espaces de group که در آنجا پیشنهاد شده بود منتشر کرد ، اما اثبات نکرد ، که فرمهای افتراقی و توپولوژی باید مرتبط باشند. پس از خواندن آن ، ژرژ د رام ، که دانش آموز بود ، بلافاصله با الهام از زندان روبرو شد. وی در پایان نامه خود در سال 1931 نتیجه جالبی را اثبات کرد که اکنون نام آن قضیه دو رام است . با قضیه استوکس ، ادغام اشکال دیفرانسیل در امتداد زنجیره های مفرد باعث ایجاد منیفولد صاف فشرده M، یک جفت دو طرفه
همانطور که در ابتدا گفته شد ، قضیه دو رام ادعا می کند که این یک جفت شدن کامل است ، و بنابراین هر یک از اصطلاحات در سمت چپ دوتایی های فضای بردار از یکدیگر هستند. در زبان معاصر ، قضیه دو رام غالباً این جمله را بیان می کند که نشان می دهد که زندگی مشترک مفرد با ضرایب واقعی ، برای کلمه شناسی د رام غیر عادی است:
گفته اصلی دی رام نتیجه ای از دوگانگی پوینکاره است . [1]
به طور جداگانه ، یک مقاله از سلیمان لفشتز در سال 1927 از روشهای توپولوژیکی برای تأیید قضایای ریمان استفاده کرد. [2] در زبان مدرن ، اگر ω 1 و ω 2 با هم تفاوت در هاله جبر C دارند ، محصول گوه آنها لزوماً صفر است زیرا C تنها یک بعد پیچیده دارد. در نتیجه ، محصول جام کلاسهای گروه شناسی آنها صفر است و با صراحت بیان می شود ، این امر به اثبات جدیدی از روابط ریمان به لفشتز داد . علاوه بر این ، اگر ω یک دیفرانسیل هولومورفیک غیر صفر است ، پس از آن
هاج احساس کرد که این تکنیک ها باید برای انواع بعدی بالاتر نیز کاربرد داشته باشد. همکار وی پیتر فریزر پایان نامه د رام را برای او توصیه کرد. هاج در خواندن تز د رام فهمید که قسمت های واقعی و خیالی یک شکل هولومورفیک 1 در سطح ریمان به نوعی با یکدیگر دوگانه هستند. او مشکوک بود که باید در ابعاد بالاتر دوگانگی مشابه وجود داشته باشد. این دوگانگی اکنون به عنوان اپراتور ستاره هاج شناخته می شود. وی همچنین تصریح کرد که هر کلاس زندگی شناسی باید دارای یک نماینده ممتاز با خاصیتی باشد که هم آن را داشته باشد و هم دوگانه آن در زیر اپراتور مشتق بیرونی محو شود. اینها اکنون به اشکال هارمونیک گفته می شوند. هاج بیشتر دهه 1930 را به این مشکل اختصاص داد. اولین تلاش منتشر شده وی برای اثبات در سال 1933 ظاهر شد ، اما او آن را "خام در حد شدید" دانست. هرمان ویل ، یکی از درخشان ترین ریاضیدانان دوره ، خود را قادر به تعیین صحت اثبات هاج نبود ، یا نه. در سال 1936 ، هاج اثبات جدیدی را منتشر کرد. در حالی که هاج اثبات جدید را بسیار برتر دانست ، نقص جدی توسط بوننبلوست کشف شد. به طور مستقل ، هرمان ویل و کونیهیکو کودیرااصلاح اثبات هاج برای اصلاح خطا. این ایزومورفیسم به دنبال هوج بین اشکال هارمونیک و کلاسهای زیست شناسی تأسیس کرد.
در گذشته نگر ، واضح است كه مشكلات فنی در قضیه وجود واقعاً نیازی به ایده های جدید مهم ندارند ، بلكه صرفاً تمدید دقیق روشهای كلاسیك است. تازگی واقعی ، که سهم اصلی هاج بود ، در درک انتگرال های هارمونیک و ارتباط آنها با هندسه جبری بود. این پیروزی مفهوم بیش از تکنیک یادآور قسمت مشابهی در اثر سلف بزرگ هوج ، برنارد ریمان است.
- MF Atiyah ، William Vallance Douglas Hodge، 17 ژوئن 1903 - 7 ژوئیه 1975 ، خاطرات بیوگرافی یاران جامعه سلطنتی ، جلد. 22 ، 1976 ، صص 169-192.
منبع
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.