منیفولد تقریباً پیچیده

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه دهم تیر ۱۳۹۹ | 8:9

در ریاضیات ، منیفولد تقریبا پیچیده یک منیفولد صاف است که با یک ساختار پیچیده خطی صاف در هر فضای مماس مجهز شده است . هر منیفولد پیچیده یک منیفولد تقریبا پیچیده است ، اما منیفولدهای تقریباً پیچیده ای وجود دارند که منیفولدهای پیچیده نیستند. تقریباً ساختارهای پیچیده کاربردهای مهمی در هندسه سمبل دارند .

این مفهوم مربوط به چارلز Ehresmann و هاینز هاپف در دهه 1940 است.

فهرست

تعریف رسمی [ ویرایش ]

بگذارید M منیفولد صاف باشد. یک ساختار تقریباً پیچیده J بر روی M یک ساختار پیچیده خطی است (یعنی یک نقشه خطی که مربع آن به 1 پوند) در هر فضای مماس مانیفولد ، که بر روی منیفولد متفاوت است. به عبارت دیگر ، ما یک درجه تنشور صاف J از درجه (1 ، 1) داریم به گونه ای که $J ^ {2} = - 1$ هنگامی که به عنوان ایزومورفیسم بسته نرم افزاری بردار در نظر گرفته شود $\ displaystyle J \ colon TM \ to TM$ در بسته نرم افزاری مماس . منیفولد مجهز به یک ساختار تقریبا پیچیده به منیفولد تقریبا پیچیده گفته می شود .

اگر M ساختار تقریباً پیچیده ای را بپذیرد ، باید یک بعدی باشد. این می تواند به شرح زیردیده شود. فرض کنید M است N بعدی، و اجازه دهید J : TM → TM شود یک ساختار تقریبا پیچیده است. اگر J 2 = −1 باشد (det J ) 2 = (−1) n . اما اگر M یک مانیفولد واقعی باشد ، det J یک عدد واقعی است - بنابراین n باید حتی اگر M یک ساختار تقریبا پیچیده داشته باشد باشد. می توان نشان داد که باید دارای جهت گیری نیز باشد.

یک تمرین آسان در جبر خطی نشان می دهد که هر فضای بردار حتی بعدی یک ساختار پیچیده خطی را می پذیرد. بنابراین ، یک منیفولد حتی بعدی همیشه یک تانسور (1 ، 1) چرخشی را به جهت (که فقط یک تحول خطی در هر فضای مماس است) می پذیرد به گونه ای که J p 2 = − 1 در هر نقطه از p . فقط وقتی این تانسور محلی قابل جمع شدن باشد تا در سطح جهانی تعریف شود ، ساختار پیچیده خطی نقطه به نقطه ساختار تقریباً پیچیده ای را ارائه می دهد ، که پس از آن به صورت منحصر به فرد تعیین می شود. احتمال این وصله ، و بنابراین وجود یک ساختار تقریبا پیچیده در منیفولد M معادل a استکاهش گروه ساختار بسته نرم افزاری مماس از GL (2 n ، R ) به GL ( N ، C ) . بنابراین مسئله وجود یک موضع شناسی کاملاً جبری است و کاملاً خوب درک می شود.

مثالها [ ویرایش ]

برای هر عدد صحیح n، فضای مسطح R 2 نفر یک ساختار تقریبا پیچیده اذعان می کند. نمونه ای از چنین ساختار تقریباً پیچیده (1 ≤ i ، j ≤ 2 n ) است:

$J _ {{ij}} = - \ delta _ {{i، j-1}}$ حتی برای i ، $J _ {{ij}} = \ delta _ {{i، j + 1}}$ برای عجیب و غریبمن .

تنها حوزه که اعتراف تقریبا سازه های پیچیده هستند S 2 و S 6 ( بورل و Serre ساخته (1953) ). به طور خاص ، به اس 4 نمی توان ساختاری تقریباً پیچیده داد (Ehresmann و Hopf). در مورد S 2 ، ساختار تقریباً پیچیده ناشی از یک ساختار پیچیده صادقانه در حوزه ریمان است . 6-کره، S 6 ، زمانی که به عنوان مجموعه ای از واحد هنجار خیالی در نظر گرفته octonions ، به ارث یک ساختار تقریبا پیچیده از ضرب اکتنیون شود. این سؤال که آیا این ساختار پیچیده دارد یا نه ، شناخته می شودمشکل هاف ، بعد از هاینزز هاپف . [1]

توپولوژی دیفرانسیل منیفولدهای تقریباً پیچیده [ ویرایش ]

فقط به عنوان یک ساختار پیچیده در یک فضای برداری V اجازه می دهد تا تجزیه V C به V + و V - (به eigenspaces از J مربوط به + من و - من ، به ترتیب)، به طوری که یک ساختار تقریبا پیچیده در M اجازه می دهد تا تجزیه بسته نرم افزاری مماس پیچیده TM C (که این مجموعه بردار فضاهای مماس پیچیده در هر نقطه است) به TM + و TM - . بخشی از TM + یک فیلد بردار نامیده می شودنوع (1 ، 0) ، در حالی که یک بخش از TM -یک میدان برداری از نوع (0 ، 1) است. بنابراین J مربوط به ضرب توسط i در قسمتهای (1 ، 0) مربع بسته نرم افزاری مماس پیچیده ، و ضرب توسط - i در زمینه (0 ، 1) مربع است.

همانطور که ما ساخت فرم های دیفرانسیل از قدرت بیرونی از بسته نرم افزاری کتانژانت ، ما می توانیم قدرت خارج از بسته نرم افزاری کتانژانت complexified (که canonically به بسته نرم افزاری از فضاهای دوگانه از بسته نرم افزاری مماس complexified ریخت) ساخت. ساختار تقریبا پیچیده باعث تجزیه هر فضای R -forms

$\ Omega ^ {r} (M) ^ {{\ mathbf {C}}} = \ bigoplus _ {{p + q = r}} \ Omega ^ {{(p، q)}} (M). \،$

به عبارت دیگر ، هر Ω r ( M ) C تجزیه را در مجموع Ω ( p ، q ) ( M ) ، با r = p + q تصدیق می کند .

مانند هر مقدار مستقیم ، یک پیش بینی معمولی π p ، q از Ω r ( M ) C تا Ω ( p ، q ) وجود دارد . ما همچنین مشتقات بیرونی d را داریم که از Ω r ( M ) C تا Ω r + 1 ( M ) C نقشه برداری می کند . بنابراین ممکن است از ساختار تقریبا پیچیده ای برای اصلاح عملکرد مشتقات بیرونی به اشکال نوع مشخص استفاده کنیم

$\ partial = \ pi _ {{p + 1، q}} \ Circ d$

$\ overline {\ partial = \ pi _ {{p، q + 1}} \ Circ d$

به طوری که $\جزئي$ نقشه ای است که قسمت هالومورف نوع را به یک و یک افزایش می دهد (فرم های نوع ( p ، q ) را به فرم های نوع ( p + 1 ، q )) می گیرد ، و $\ overline {\ partial$ نقشه ای است که قسمت آنتی هالومورفیک نوع را با یک افزایش می دهد. این عملگرها را اپراتورهای Dolbeault می نامند .

از آنجا که جمع همه پیش بینی ها باید نقشه هویت باشد ، توجه می کنیم که مشتقات بیرونی را می توان نوشت

$d = \ sum _ {{r + s = p + q + 1}} \ pi _ {{r، s}} \ circ d = \ partial + \ overline {\ partial} + \ dotsb.$

ساختارهای تقریباً پیچیده یکپارچه [ ویرایش ]

هر منیفولد پیچیده خود یک مانیتور تقریباً پیچیده است. در مختصات محلی هولومورفیک $z ^ {\ mu = x ^ {\ mu} + iy ^ {\ mu$ می توان نقشه ها را تعریف کرد

$J {\ frac {\ جزئی} {\ جزئی X ^ {\ mu}}} = {\ frac {\ جزئی} {\ جزئی y ^ {\ mu}}} \ qquad J {\ frac {\ جزئی part {\ جزئی y ^ {\ mu}}} = - {\ frac {\ جزئی} {\ جزئی x ^ {\ mu}}}$

(دقیقاً مثل چرخش خلاف جهت ساعت π / 2) یا

$J {\ frac {\ جزئی} {\ جزئی z ^ {\ mu}}} = i {\ frac {\ جزئی} {\ جزئی z ^ {\ mu}}} \ qquad J {\ frac {\ جزئی part part \ partial {\ bar {z}} ^ {\ mu}}} = - i {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {z}} ^ {\ mu}}.$

یک نفر به راحتی بررسی می کند که این نقشه یک ساختار تقریبا پیچیده را تعریف می کند. بنابراین هر ساختار پیچیده روی منیفولد ساختار تقریباً پیچیده ای را ارائه می دهد ، که گفته می شود توسط ساختار پیچیده "القاء شده" است و گفته می شود ساختار پیچیده با ساختار تقریباً پیچیده "سازگار" است.

سؤال متضاد ، که آیا ساختار تقریباً پیچیده دلالت بر وجود یک ساختار پیچیده دارد بسیار کم اهمیت است ، و به طور کلی صحیح نیست. در یک منیفولد تقریباً پیچیده دلخواه ، همواره می توانید مختصاتی را پیدا کنید که ساختار تقریباً پیچیده ، شکل متعارف فوق را در هر نقطه معین درج می کند . به طور کلی، با این حال، ممکن است برای پیدا کردن مختصات به طوری که J به شکل متعارف در کل محله از ص . این مختصات ، در صورت وجود ، "مختصات محلی هومورففیک J" نامیده می شوند. اگر M اذعان مختصات هولومورفیک محلی برای J در اطراف هر نقطه و سپس این پچ هم به صورت یک هولومورفیک اطلس برایM به آن ساختار پیچیده ای می بخشد ، که علاوه بر آن J را القا می کند . گفته می شود J " یکپارچه " است. اگر J توسط یک ساختار پیچیده القا شود ، پس از آن توسط یک ساختار پیچیده منحصر به فرد القا می شود.

با توجه به نقشه خطی A در هر فضای مماس از M ؛ یعنی ، A یک رشته تانسور درجه ای است (1 ، 1) ، پس از آن Tensor Nijenhuis یک میدان تنشی از درجه (1،2) است که توسط

$N_ {A} (X، Y) = - A ^ {2} [X، Y] + A ([AX، Y] + [X، AY]) - [AX، AY]. \،$

یا ، برای مورد معمول یک ساختار تقریبا پیچیده A = J به گونه ای که $\ displaystyle J ^ {2} = - Id}$ ،

${\ displaystyle N_ {J} (X، Y) = [X، Y] + J ([JX، Y] + [X، JY]) - [JX، JY]. \،$

عبارات فردی در سمت راست به انتخاب زمینه های بردار صاف X و Y بستگی دارد ، اما سمت چپ فقط در واقع به مقادیر نقطه ای X و Y بستگی دارد ، به همین دلیل N A یک تانسور است. این نیز از فرمول مؤلفه مشخص است

$- (N_ {A}) _ {{ij}} ^ {k} = A_ {i} ^ {m} \ جزئی _ {m} A_ {j} ^ {k} -A_ {j} ^ {m} \ جزئی _ {m} A_ {i} ^ {k} -A_ {m} ^ {k} (\ جزئی جزئی _ {i} A_ {j} ^ {m} - \ partial _ {j} A_ {i} ^ { متر).$

از نظر براکت Frölicher-Nijenhuis ، که براکت های دروغ زمینه های بردار را تعمیم می دهد ، Tensor Nijenhuis N A فقط نیمی از [ A ، A ] است.

Newlander-نیرنبرگ قضیه بیان می کند که یک ساختار تقریبا پیچیده J انتگرال است اگر و تنها اگر N J = 0. ساختار پیچیده سازگار منحصر به فرد است، همانطور که در بالا بحث شده است. از آنجا که وجود یک ساختار تقریباً پیچیده یکپارچه معادل وجود یک ساختار پیچیده است ، این مسئله گاهی به عنوان تعریف یک ساختار پیچیده در نظر گرفته می شود.

چندین معیار دیگر وجود دارد که معادل ناپدید شدن Tensor Nijenhuis است ، و بنابراین روشهایی برای بررسی یکپارچگی یک ساختار تقریبا پیچیده ارائه می دهند (و در واقع هر یک از این موارد را می توان در ادبیات یافت):

براکت دروغ دو قسمت (1 ، 0) -ktector دوباره از نوع (1 ، 0) است
$d = \ جزئی + {\ نوار \ جزئی$
$\ نوار \ جزئی} ^ {2} = 0.$

هر یک از این شرایط دلالت بر وجود یک ساختار پیچیده منحصر به فرد سازگار دارد.

وجود ساختار تقریباً پیچیده یک سؤال توپولوژیک است و همانطور که در بالا مورد بحث قرار گرفت ، پاسخگویی نسبتاً آسان است. از سوی دیگر وجود یک ساختار تقریباً پیچیده و یکپارچه ، یک سوال تحلیلی بسیار دشوار است. به عنوان مثال ، هنوز مشخص نیست که آیا S 6 علی رغم سابقه طولانی در مورد ادعاهای نهایی نشده ، یک ساختار تقریباً پیچیده و یکپارچه را پذیرفته است. مسائل مربوط به نرمی مهم است. برای J- تحلیلی واقعی ، قضیه Newlander-Nirenberg از قضیه Frobenius پیروی می کند . برای C ∞ (و کمتر صاف) J ، تجزیه و تحلیل مورد نیاز است (با تکنیک های دشوارتر با فرضیه نظم تضعیف می شود).

سه گانه سازگار [ ویرایش ]

فرض کنید M مجهز به یک فرم دلخواه ω ، یک معیار G ریمانی ، و یک ساختار تقریبا پیچیده J است . از آنجا که ω و g nondegenerate هستند ، هر یک باعث ایجاد ایزومورفیسم بسته نرم افزاری TM → T * M می شوند ، جایی که اولین نقشه ، با φ ω نشان داده شده توسط ضرب داخلی φ ω ( u ) = i u ω = ω ( u ، •) و از سوی دیگر، نشان داده می شود φ گرم ، توسط عملیات مشابه برای داده گرم. با این درک ، سه ساختار ( g ، ω ، J ) یک سه گانه سازگار را تشکیل می دهند وقتی که هر ساختار را می توان توسط دو ساختار دیگر به شرح زیر مشخص کرد:

g(u, v) = ω(u, Jv)
ω(u, v) = g(Ju, v)
J(u) = (φg)−1(φω(u)).

در هر یک از این معادلات ، دو سازه در سمت راست وقتی سازه مربوطه سازه ای از نوع مشخص شده را سازگار می نامند. به عنوان مثال ، ω و J اگر سازگار باشند اگرf ω (• ، J •) یک معیار ریمانی است. بسته نرم افزاری بر روی M که بخش های آن تقریباً ساختارهای سازگار با ω است دارای الیاف قابل انعطاف است : ساختارهای پیچیده روی الیاف مماس سازگار با محدودیت به اشکال سمپلتیک.

با استفاده از خواص ابتدایی از فرم ها symplectic ω ، می توان نشان می دهد که سازگار ساختار تقریبا پیچیده J یک IS ساختار تقریبا Kahler از برای ریمانی متریک (ω ( U ، JV . همچنین ، اگر J یکپارچه باشد ، ( M ، ω ، J ) منیفولد Kähler است . "این سه گانه به 2 از 3 مورد از گروه واحد مربوط می شود .

ساختار تقریبا پیچیده تعمیم یافته [ ویرایش ]

Nigel Hitchin مفهوم یک ساختار تقریباً پیچیده و کلی را در منیفولد M معرفی کرد ، که در پایان نامه های دکتری دانش آموزانش مارکو گوالتری و گیل کاوالکانتی شرح داده شد . یک ساختار تقریبا پیچیده عادی انتخاب نیم بعدی است فضا از هر فیبر از complexified کلاف مماس TM . یک ساختار تقریباً پیچیده عمومی ، انتخابی از یک فضای فرعی ایزوتروپیک نیم بعدی از هر فیبر از مقدار مستقیم بسته های مماس پیچیده و cotangent است .در هر دو مورد ، یک نفر خواستار جمع مستقیم زیرمجموعه استو ترکیب پیچیده آن عملکرد اصلی را به همراه دارند.

اگر زیر فضای نیمه بعدی در زیر براکت Lie بسته شود ، یک ساختار تقریبا پیچیده در یک ساختار پیچیده ادغام می شود . اگر فضای فرعی زیر براکت کورانت بسته شود ، یک ساختار تقریباً پیچیده تعمیم یافته به یک ساختار پیچیده عمومی تعمیم می یابد . اگر علاوه بر این ، این فضای نیم بعدی نابود کننده هیچ مکانی نیست که اسپینور خالص آن را از بین ببرد ، M سپس یک مانیفولد تعمیم یافته Calabi-Yau است .

https://en.wikipedia.org/wiki/Almost_complex_manifold

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی