بخش دهم: ساخت تابع کلاهی جداکننده برای مجموعههای بسته (قضیه اوریسون در منیفلدها)
در دستنوشتههای حاضر، استاد علیاکبر عالمزاده به یکی از زیباترین دستاوردهای تحلیلی در توپولوژی دیفرانسیل میپردازند: تعمیم قضیهٔ جداسازی اوریسون (Urysohn's Lemma) از فضاهای توپولوژیک به ردهٔ توابع بینهایتبار مشتقپذیر (C∞) روی چندلاها.
تعریف: افراز واحد تابعِ یک پوشش (Subordinate Partition of Unity)
فرض کنیم 𝒞 یک پوشش باز برای چندلای M باشد. خانوادهٔ توابع هموار {φα} را افراز واحدِ تابع 𝒞 نامند، هرگاه برای هر اندیس α، عضوی چون U ∈ 𝒞 وجود داشته باشد بهگونهای که تکیهگاه آن محاط در U باشد:
supp(φα) ⊂ U ∈ 𝒞
قضیه: ساخت تابع کلاهی مشخصه (Smooth Bump on Closed Sets)
صورت قضیه: فرض کنیم U یک زیرمجموعهٔ باز و C یک زیرمجموعهٔ بسته از چندلای پارافشردهٔ M باشد بهگونهای که C ⊂ U. در این صورت، تابع مشتقپذیرِ سراسری f: M → ℜ چنان وجود دارد که:
f|C = 1 &text;و f|M ∖ U = 0
برهان دقیق قضیه:
چون C در M بسته است، مکمل آن یعنی M ∖ C باز خواهد بود. بنابراین خانوادهٔ دو عضوی زیر یک پوشش باز برای منیفلد M میسازد:
𝒞 = { U , M ∖ C }
چون منیفلد پارافشرده است، افراز واحدی مانند {φα} تابعِ پوشش 𝒞 وجود دارد. اکنون تابع سراسری f را به صورت زیر تعریف مینماییم:
f = ∑supp(φα) ⊂ U φα
این جمع روی آن دسته از اندیسهای α محدود شده است که حامل/تکیهگاه آنها درون U قرار دارد. برای بررسی دو شرط قضیه:
روی مجموعه بسته C: اگر نقطهای مانند p ∈ C باشد، خارج از M ∖ C است؛ بنابراین تمام توابعی که تکیهگاهشان درون M ∖ C بود، در این نقطه دقیقاً صفر میشوند. لذا تنها توابعِ موجود در جمع f باقی میمانند و بنا بر شرط افراز واحد:
f(p) = ∑α φα(p) = 1 ∀ p ∈ C
بیرون از باز U (روی M ∖ U): هیچیک از توابع موجود در ضابطهٔ f نمیتوانند در این ناحیه ناصفر باشند (زیرا تکیهگاهشان درون U است)، پس به وضوح:
f(p) = 0 ∀ p ∈ M ∖ U
m ∈ V ⊂ V̅ ⊂ V1 ⊂ V̅1 ⊂ U
تصویر معکوس گویهای اقلیدسی B ⊂ B̅ ⊂ B1 ⊂ x(U) که پایهٔ اثبات لم چسباندن است.
دستنوشتههای استاد علیاکبر عالمزاده — دوره جامع هندسه دیفرانسیل و آنالیز منیفلد
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.