۱. ساخت افراز یکان سراسری (Partition of Unity)

حال فرض کنید منیفلد M هاسدورف و دارای پایه‌ی شمارش‌پذیر دوم باشد؛ در نتیجه فضا «پارافشرده» (Paracompact) است. این ویژگی به ما اجازه می‌دهد توابع موضعیِ h_m را که در بخش پیش ساختیم، به یک خانواده‌ی سراسری و منسجم تبدیل کنیم.

۲. گام‌های سه گانه برهان

۱) انتخاب پوشش متناهی‌موضعی:

پوشش بازی از چارت‌ها به صورت {U_α} داریم. برای هر نقطه m تابعی مانند h_m می‌سازیم و با استفاده از خاصیت پارافشردگی، زیرپوشش متناهی‌موضعی {W_i}_{i ∈ I} به همراه توابع متناظر {h_i}_{i ∈ I} انتخاب می‌کنیم به طوری که:

و در هر نقطه p ∈ M، تنها تعداد متناهی از h_i(p)ها ناصفرند.

۲) تعریف تابع مخرج (پوشش ناصفر):

تابع مجموع سراسری را چنین تعریف می‌کنیم:

• به دلیل تناهی موضعی، در هر همسایگی این جمع تبدیل به یک جمع متناهی می‌شود؛ پس H ∈ C^∞(M).


• چون هر نقطه حداقل درون یکی از مجموعه‌ها قرار دارد که در آن تابع مثبت است، همواره: H(p) > 0 برای تمام p ∈ M.

۳) نرمال‌سازی و حصول افراز یکان:

برای هر i ∈ I تعریف می‌کنیم:

۳. تثبیت شرایط چهارگانه افراز یکان

خانواده‌ی {ψ_i} واجد تمام شرایطِ افراز یکان هموار است:

1. همواری سراسری: ψ_i ∈ C^∞(M) (حاصل‌تقسیم دو تابع هموار که مخرجش هرگز صفر نمی‌شود).


2. محدودیت مقادیر: 0 ≤ ψ_i(p) ≤ 1.


3. وفاداری به تکیه‌گاه: supp(ψ_i) = supp(h_i) ⊂ W_i.


4. جمع یکان: در هر نقطه p ∈ M داریم:
   
   
   ∑_{i ∈ I} ψ_i(p) = (∑_i h_i(p)) / H(p) = H(p) / H(p) = 1