ریاضیات

۱. چرا به متریک نیاز داریم؟

یک منیفلد هموار، در ابتدای تولدش فقط «نرمی» و «تداوم» دارد؛ یعنی ما می‌دانیم نقاط چطور به هم می‌پیوندند (توپولوژی). اما اگر بخواهیم بپرسیم «فاصلهٔ این دو نقطه چقدر است؟» یا «این دو منحنی با چه زاویه‌ای یکدیگر را قطع می‌کنند؟»، پاسخ در منیفلدِ محض وجود ندارد.


ما به یک ساختارِ اضافی نیاز داریم: تانسور متریک ریمانی. متریک، یک «درون‌ضرب» (Inner Product) است که به هر نقطه از فضای مماس، اعتبارِ اندازه‌گیری می‌بخشد.

۲. تانسور متریک (Riemannian Metric)

متریک ریمانی g، یک میدان تانسوری از مرتبه (0,2) است که در هر نقطه p، یک ضرب داخلی روی فضای مماس T_pM تعریف می‌کند. این تانسور باید سه ویژگیِ شهودی داشته باشد:

• متقارن بودن: یعنی ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩ (زاویه از هر دو طرف یکی است).


• مثبت-معین بودن: یعنی طول هیچ برداری منفی نیست و فقط بردار صفر، طولش صفر است.


• همواری (Smoothness): که تغییراتِ اندازه‌ها از نقطه‌ای به نقطه دیگر ناگهانی نباشد.

۳. بازنمایی در مختصات محلی

اگر دستگاه مختصاتی محلی را با xⁱ نشان دهیم، متریک را به صورت یک ماتریس متقارن و معینِ مثبت بیان می‌کنیم که مولفه‌های آن از حاصل‌ضرب پایه‌های متناظر به دست می‌آید:

در واقع g_ij همان ابزاری است که طولِ بردارِ مماس v را با فرمول |v|² = ∑ g_ij vⁱ v^j برای ما محاسبه می‌کند.