توسط علی رضا نقش نیلچی
| جمعه سیزدهم شهریور ۱۴۰۵ | 22:14
📜 بازخوانی میراث علمی: به یادگار از استاد فقید دکتر علیاکبر عالمزاده
فصل چهاردهم — بخش نخست: بر پایهٔ دستنوشتههای ریاضی استاد دکتر علیاکبر عالمزاده؛ سفری به ساحتِ فضاهای گراسمن و تبدیل مجموعهها به ساختارهای هندسی هموار.
زیرفضاهایِ جهان در سیرِ راز،
هر یکی ابعادی از پردهنواز.
چون نشیند در حریمِ گراسمن،
کثرتِ اضداد گردد کارساز.
فصل چهاردهم: در جستجویِ کُل در اجزاء — منیفلدِ گراسمن (بخش ۱)
پارامتریکسازی زیرفضاها و گذار از جبر خطی به هندسه دیفرانسیل
۱. نقطه چیست؟ بازتعریفِ نقاط به مثابهٔ زیرفضاها
در هندسه کلاسیک، «نقطه» یک موقعیت مکانی منفرد و بدون بعد تلقی میشود. اما هنگامی که گام به قلمرو گراسمن میگذاریم، هر «نقطه» خود یک جهان برداری است!
اگر V یک فضای برداری n-بعدی باشد (مانند ℝn)، منیفلدی تعریف میکنیم که نقاط آن، زیرفضاهای خطی k-بعدی از V هستند:
Grk(V) = { W ⊆ V | dim(W) = k }
مثالهای شهودی:
- اگر k = 1 باشد: Gr1(ℝn) همان فضای تصویری حقیقی (ℝPn-1) است؛ یعنی مجموعهٔ تمام خطوطِ گذرنده از مبدأ.
- اگر k = n - 1 باشد: Grn-1(ℝn) مجموعه ابرصفحههای گذرنده از مبدأ است که به کمک ضرب داخلی با خطوط متعامد دوگان میشود:
Grn-1(ℝn) ≅ ℝPn-1.
- اگر 1 < k < n - 1 باشد: گراسمن کلاسی غنیتر، خمیدهتر و با توپولوژی پیچیدهتر از فضاهای تصویری است.
۲. محاسبهٔ بُعد منیفلد گراسمن
برای تعیین آزادی عملِ انتخاب یک زیرفضای k-بعدی در فضایی n-بعدی، ابتدا پایهٔ مرتب {v1, ..., vk} را در نظر میگیریم. هر بردار میتواند در فضایی مکمل با بعد n - k حرکت کند؛ بنابراین بعد کل این منیفلد برابر است با:
dim(Grk(ℝn)) = k × (n - k)
«هر خط، هر صفحه، و هر زیرفضا در منظرِ گراسمن نقطهای است در آسمانِ یک منیفلد هموار؛ کثرتی مقید به وحدت ساختار.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.