«در محضرِ آموزههایِ ماندگارِ دکتر علیاکبر عالمزاده: هندسه، رقصِ فرمولها در تالارِ آینههاست.»
تحلیل فنی: همواریِ چارتها در گراسمن
۱. نمایشِ استانداردِ زیرفضا
طبقِ دستنوشتههایِ استاد، برای توصیفِ یک زیرفضای k-بعدی در V (که dim(V)=n)، ماتریسِ نمایشدهنده را چنین افراز میکنیم:
M = [ B | C ]T که B: (k×k), C: ((n-k)×k)
اگر ماتریسِ B وارونپذیر باشد (شرطِ دترمینانِ غیرصفر)، میتوانیم ماتریس را در B-1 ضرب کنیم تا به فرمِ استانداردِ «مختصاتِ محلی» برسیم:
[ IkA ] , A = CB-1
۲. توابعِ انتقال و رقصِ دترمینانها
پرسشِ کلیدی اینجاست: اگر چارتِ خود را تغییر دهیم (یعنی ماتریسِ بلوکیِ دیگری از M انتخاب کنیم که آن هم وارونپذیر باشد، مثلاً B')، رابطه میان مختصاتِ A و A' چیست؟
استاد در یادداشتهایشان بر این نکته تأکید داشتند که این تبدیل، تابعی از ضربِ ماتریسها و وارونسازی است:
A' = f(A) = (C'B'-1)
از آنجا که وارونسازیِ ماتریس (از طریقِ ماتریسِ الحاقی و دترمینان) یک عملگرِ گویا (Rational) است و دترمینان در قلمروِ چارتِ ما مخالفِ صفر است، این تابع f یک تابعِ هموار (C∞) است.
۳. نتیجهگیریِ هندسی
این همواریِ دترمینانی، همان رازِ نهفته در اوراقِ استاد است که تضمین میکند: منیفلدِ گراسمن، یک منیفلدِ هموارِ کامل است. ما با تکیه بر این محاسباتِ بلوکی، نه تنها یک نقطه، بلکه «مکانِ تمامِ زیرفضاها» را به چنگ میآوریم.
«در تلاقیِ جبر و هندسه، آنجا که دترمینانها همنوا میشوند، منیفلدها جان میگیرند.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.