فصل چهاردهم: در جستجویِ کُل در اجزاء
منیفلد گراسمن و ساختارِ بستههای برداری
در محضرِ کثرت، وحدتی نهان است،
هر جزء، پرتوی زِ یک آسمان است.
گر گراسمن، میدانِ جولانِ زیرفضاهاست،
در ذاتِ هر نقطه، نقشِ یک کهکشان است.
۱. درآمدی بر هندسه زیرفضاها
در فصولِ پیشین، از میدانهایِ ژاکوبی سخن گفتیم و با گذار از متریکهایِ ریمانی، به افرازِ یکان رسیدیم. اکنون اما در آغازِ فصلی تازه، نگاهِ ما از «نقاطِ رویِ منیفلد» فراتر میرود. ما به دنبالِ «فضایِ تمامِ زیرفضاها» هستیم.
مطابق با یادداشتهایِ پژوهشی (تصویرِ ۱۷۸۸۵۱۶۹...)، زمانی که از نگاشتهایِ میانِ فضاهایِ برداری سخن میگوییم، در واقع در حالِ توصیفِ ساختارِ منیفلدِ گراسمن (Grk(V)) هستیم. این فضا، نه یک فضایِ اقلیدسی ساده، بلکه منیفلدِ فشردهای است که هر نقطه از آن، خودِ یک «زیرفضایِ k-بعدی» است.
۲. تعریفِ منیفلدِ گراسمن
فرض کنید
۱. درآمدی بر هندسه زیرفضاها
در فصولِ پیشین، از میدانهایِ ژاکوبی سخن گفتیم و با گذار از متریکهایِ ریمانی، به افرازِ یکان رسیدیم. اکنون اما در آغازِ فصلی تازه، نگاهِ ما از «نقاطِ رویِ منیفلد» فراتر میرود. ما به دنبالِ «فضایِ تمامِ زیرفضاها» هستیم.
مطابق با یادداشتهایِ پژوهشی (تصویرِ ۱۷۸۸۵۱۶۹...)، زمانی که از نگاشتهایِ میانِ فضاهایِ برداری سخن میگوییم، در واقع در حالِ توصیفِ ساختارِ منیفلدِ گراسمن (Grk(V)) هستیم. این فضا، نه یک فضایِ اقلیدسی ساده، بلکه منیفلدِ فشردهای است که هر نقطه از آن، خودِ یک «زیرفضایِ k-بعدی» است.
۲. تعریفِ منیفلدِ گراسمن
فرض کنید M، در واقع «کشیده شده» (Pull-back) از یک نگاشتِ هموار به گراسمن است.
۳. به سویِ کلاسهایِ مشخصه
ما با مطالعهِٔ گراسمن، ابزاری مییابیم تا تقارنها و ناوردایِ هندسی را نه فقط در یک نقطه، بلکه در سراسرِ «بسته» (Bundle) بررسی کنیم. دترمینانهایی که در یادداشتهایِ شما ترسیم شده، سرآغازِ بحثِ شیرینِ «کلاسهایِ چرن» (Chern Classes) هستند؛ ابزاری که به ما میگوید یک فضایِ توپولوژیک تا چه اندازه «پیچیده» و دارایِ «تابیدگی» (Twisting) است.
«در فصلِ آینده، خواهیم دید که چگونه دترمینانِ ماتریسهایِ انتقال، ناورداهایی را پدید میآورند که توپولوژیِ کلِ منیفلد را معنا میبخشد.»
کلیدواژهها: گراسمن، زیرفضا، منیفلد فشرده، بسته برداری، توابع انتقال، جبرِ نگاشتها.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.