تناهی موضعی و ساخت توابع برآمدگی در منیفلدها
موضوع: پوششهای باز، مجموعههای فشرده، تناهی موضعی و افراز یکان هموار
بخش نخست: تناهی موضعی و پوششهای باز
۱. مقدمه و درآمد سخن
در مطالعهی منیفلدها، همواره با دو سطح از ساختار روبهرو هستیم:
ساختار موضعی که در چارتها و همسایگیهای مختصاتی دیده میشود،
و ساختار سراسری که کل منیفلد را دربرمیگیرد.
برای پیوند دادن این دو سطح، باید پوششهایی از مجموعههای باز در اختیار داشته باشیم
که در هر ناحیهی کوچک، تنها تعداد متناهی از اعضای پوشش حضور داشته باشند.
چنین پوششی را پوشش متناهیموضعی مینامیم.
ایدهی اصلی:
هر نقطه از منیفلد باید همسایگیای داشته باشد که فقط با تعداد متناهی از مجموعههای پوشش برخورد کند.
۲. تعریف پوشش متناهیموضعی
فرض کنید خانوادهی مجموعههای باز
{Vα}
پوششی برای منیفلد M باشد.
این پوشش را متناهیموضعی مینامیم هرگاه برای هر نقطهی
p ∈ M
همسایگی بازی مانند W
وجود داشته باشد که فقط با تعداد متناهی از اعضای پوشش برخورد کند:
W ∩ Vα ≠ ∅
only for finitely many α
این شرط، از انباشته شدن بینهایت مجموعه در اطراف یک نقطه جلوگیری میکند.
به زبان هندسی، هر نقطه تنها شاهد حضورِ متناهی از اجزای پوشش است.
۳. خانوادهی مجموعههای فشرده
فرض میکنیم منیفلد M
با خانوادهای از مجموعههای فشرده
{Cα}
پوشانده شده است؛ بهگونهای که هر مجموعهی
Cα
فقط با تعداد متناهی از مجموعههای دیگر برخورد دارد:
Cα ∩ Cβ ≠ ∅
only for finitely many β
این ویژگی را میتوان «تناهی موضعی خانوادهی فشردهها» دانست.
اکنون برای هر Cα
مجموعههایی باز مانند
Vα
و Wα
انتخاب میکنیم که روابط زیر را داشته باشند:
Vα ⊂ Wα ⊂ Cα
۴. اثبات تناهی برخورد مجموعههای باز
اگر دو مجموعهی باز
Vα
و Vβ
با یکدیگر اشتراک داشته باشند، آنگاه نقطهای وجود دارد که همزمان در هر دو مجموعه قرار گرفته است.
از آنجا که
Vα ⊂ Cα
و
Vβ ⊂ Cβ
داریم:
Vα ∩ Vβ ≠ ∅
⇒
Cα ∩ Cβ ≠ ∅
اما طبق فرض، هر
Cα
فقط با تعداد متناهی از مجموعههای
Cβ
برخورد میکند. بنابراین
Vα
نیز فقط با تعداد متناهی از مجموعههای
Vβ
اشتراک دارد.
نتیجه:
خانوادهی {Vα}
یک پوشش متناهیموضعی برای منیفلد M است.
۵. نقش منیفلد با مرز
اگر منیفلد دارای مرز باشد، یعنی
∂M ≠ ∅،
همین استدلال برای نقاط درونی و نقاط واقع بر مرز به کار میرود.
هر نقطهی
p ∈ M،
حتی اگر در
∂M
قرار داشته باشد، در یک همسایگی مختصاتی مناسب جای میگیرد.
در نزدیکی نقاط مرزی، بهجای گویهای معمولی از نیمهگویها یا مجموعههای مختصاتی
در نیمهفضای اقلیدسی استفاده میشود. اصل استدلال تغییر نمیکند:
فشردگی و کنترل برخوردها، تناهی موضعی را تضمین میکنند.
بخش دوم: ساخت توابع برآمدگی در منیفلدها
۱. مقدمه: از ساختار موضعی تا ساختار سراسری
چارتها اطلاعات هندسی را تنها در ناحیهای کوچک از منیفلد آشکار میکنند.
برای ساختن توابعی که بر سراسر منیفلد تعریف شوند، باید بتوانیم اثر یک تابع را
درون یک ناحیه محدود کنیم و بیرون آن را بهصورت هموار صفر سازیم.
چنین تابعی را تابع برآمدگی،
تابع کلاهی یا Bump Function مینامیم.
۲. صورت لم جداسازی
لم:
فرض کنید M
یک منیفلد هموار، هاسدورف و دارای پایهی شمارشپذیر دوم باشد.
اگر U
یک مجموعهی مخت Georgia, serif;">U
یک مجموعهی مخت باشد، آنگاه مجموعهی بازی مانند U
باشد، آنگاه مجموعهی بازی مانند
Um
و تابعی هموار
hm: M → Rm: M → R
وجودp>
m ∈ Um
و
hm(m) > 0.
بستار مجموعهی کوچکتر درون مجموعهی مختصاتی قرار دارد:
overline(Um) ⊂ U.
تابع بیرون از U صفرspan> صفر است:
hm = 0
روی M \ U.
مقدار تابع در سراسر منیفلد میان صفر و یک قرار دارد:
0 ≤ hm ≤ 1.
۳. انتقال نقطه به مبدأ مختصات
چارت مختصاتی را بهصورت
(U, x)
در نظر میگیریم؛ یعنی:
x : U → Rn
چون x(m)
لزوماً مبدأ نیست، با انتقال مختصات
y = x − x(m)
میتوانیم فرض کنیم:
x(m) = 0
۴. انتخاب گویهای تو در تو
دو عدد مثبت
0 < r1 < r2
را چنان انتخاب میکنیم که گوی بستهی بزرگتر در تصویر چارت قرار گیرد:
B(0, r1) ⊂ B(0, r2)
⊂ overline{B(0, r2)} ⊂ x(U)
سپس ناحیهی مختصاتی کوچک را چنین تعریف میکنیم:
Um = x−1(B(0, r1))
از آنجا که بستار گوی کوچک در گوی بزرگ قرار دارد، خواهیم داشت:
۵. تابع هموار استاندارد روی خط حقیقی
تابع زیر را در نظر میگیریم:
f(s) =
{ 0 if s ≤ 0
e−1/s if s > 0 }
این تابع در نقطهی صفر نیز هموار است؛ یعنی همهی مشتقهای آن در صفر وجود این، تابع در سمت چپ صفر کاملاً ناپدید میشود.
سمت چپ صفر کاملاً ناپدید میشود.
همین ناپدیدشدنِ هموار، امکان ساخت تابعی را فراهم میکند که در یک ناحیه فعال
و بیرون آن صفر باشد.
۶. ساخت تابع برآمدگی در Rn
با استفاده از تابع بالا، تابعی روی فضای اقلیدسی تعریف میکنیم:
g(y) =
f(r22 − ||y||2)
/
[ f(r22 − ||y||2)
+ f(||y||2 − r12) ]
این تابع دارای ویژگیهای زیر است:
اگر
||y|| ≤ r1
باشد، آنگاه
g(y) = 1.
اگر
||y|| ≥ r2
باشد، آنگاه
g(y) = 0.
برای همهی
y ∈ Rn،
تابع g
هموار است.
مقدار تابع در بازهی
[0, 1]
قرار دارد.
نکته:
تابع g
درون گوی کوچک برابر یک است، در بیرون گوی بزرگ صفر میشود،
و در ناحیهی میان آن دو بهصورت هموار تغییر میکند.
۷. انتقال تابع به منیفلد
اکنون تابع ساختهشده را از فضای مختصاتی به منیفلد منتقل میکنیم:
hm(p) =
{ g(x(p)) if p ∈ U
0 if p ∈ M \ U }
چون تابع g
" style="font-family: Georgia, serif;">g
شود،
تعریف بالا در مرز
U
نیز هموار باقی میماند.
بنابراین hm
تابعی از ردهی
C∞
روی تمام منیفلد است.
۸. تکیهگاه تابع
تکیهگاه یک تابع،ای است که تابع در آن ناصفر است.
برای تابع ساختهشده داریم:
supp(hm) ⊂ U
به بیان هندسی، تابع در ناحیهای کوچک پیرامون نقطهی
m
فعال است و هرچه از آن ناحیه دور شویم، بهصورت کاملاً هموار خاموش میشود.
بخش سوم: پیوند با افراز یکان
هنگامی که برای هر نقطه یا هر عضو یک پوشش، تابع برآمدگی مناسبی بسازیم،
مجموعهای از توابع هموار به دست میآید که هرکدام در ناحیهای محدود اثر دارند.
اگر این توابع را نرمالسازی کنیم، میتوانیم به خانوادهای برسیم که مجموع آنها
در هر نقطه برابر یک است.
Σα φα(p) = 1
for every p ∈ M
خانوادهی
{φα}
را افراز یکان هموار مینامیم.
تناهی موضعی تضمین میکند که در هر نقطه، تنها تعداد متناهی جمله در این مجموع
ناصفر باشد؛ بنابراین مجموع بالا از نظر تحلیلی خوشرفتار و از نظر هندسی قابل کنترل است.
صورت کلی قضیه
هر منیفلد هموار، هاسدورف و دارای پایهی شمارشپذیر دوم،
افراز یکان هموار دارد.
بهطور خلاصه:
پوشش مختصاتی → پالایش متناهیموضعی → توابع برآمدگی → افراز یکان
بخش چهارم: جمعبندی مفهومی و حکمی
❦
هر نقطه در پهنهی منیفلد، عالمی موضعی است؛
اما هیچ عالم موضعی نباید از کلّ هستی جدا بماند.
پوششهای باز، کثرتِ ناحیهها را سامان میدهند؛
تناهی موضعی، از پراکندگی بیمهار جلوگیری میکند؛
و توابع برآمدگی، هر حقیقت موضعی را با نرمی به سراسر فضا پیوند میزنند.
در نهایت، افراز یکان نشان میدهد که وحدت سراسری نه با حذف کثرت،
بلکه با تنظیم و هماهنگکردن کثرت پدیدار میشود.
هر تابع در ناحیهی خویش میدرخشد، اما مجموع آنها در هر نقطه
به یک حقیقت واحد بازمیگردد.
❦
نتیجهی نهایی
برهان مورد بررسی بر سه پایه استوار است:
استفاده از مجموعههای فشرده برای کنترل هندسی نواحی.
ساخت پوشش باز متناهیموضعی از طریق کنترل برخورد مجموعهها.
ساخت توابع برآمدگی برای انتقال دادههای موضعی به ساختاری سراسری.
این سه مرحله در کنار یکدیگر، ابزار اصلی ساخت افراز یکان هموار را فراهم میکنند؛
ابزاری که در نظریهی منیفلدها، هندسه دیفرانسیل، تحلیل روی فضاهای هموار،
ساخت متریکهای ریمانی و بسیاری از مباحث توپولوژیک نقشی بنیادی دارد.
واژگان کلیدی:
منیفلد، پوشش باز، تناهی موضعی، مجموعه فشرده، چارت مختصاتی،
تابع برآمدگی، تکیهگاه تابع، افراز یکان، منیفلد با مرز
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.