ریاضیات

نکات و توضیحات تکمیلی دربارهٔ نقاط بحرانی و مجموعه‌های تراز

یادآوری دربارهٔ تصاویر

به‌سبب تاری و کم‌رنگی شدید تصاویر، همهٔ عبارت‌های دست‌نویس با قطعیت خوانده نمی‌شوند. تابعی که از بخش خواناتر یادداشت‌ها تشخیص داده شد، ظاهراً تابع زیر است:

f(x,y) = x⁴−x²+(1∕2)y²

توضیحات حاضر بر همین قرائت استوار است. اگر ضریب یا توان یکی از جمله‌ها در اصل یادداشت متفاوت باشد، محاسبات نقاط بحرانی و مقادیر بحرانی نیز باید متناسب با آن اصلاح شود؛ اما روش کلی تغییری نمی‌کند.

۱. تفاوت نقطهٔ بحرانی و مقدار بحرانی

یکی از مهم‌ترین نکات این مبحث، تفکیک سه مفهوم زیر است:

• نقطهٔ بحرانی، نقطه‌ای در دامنهٔ تابع است.


• مقدار بحرانی، عدد یا نقطه‌ای در فضای مقصد است.


• مقدار منظم نیز متعلق به فضای مقصد است.

اگر تابع زیر داده شده باشد:

f : M → N

نقطهٔ p در M بحرانی است، هرگاه مشتق تابع در آن نقطه پوشا نباشد:

dfₚ : TₚM → T𝑓₍ₚ₎N

اگر p بحرانی باشد، نقطهٔ f(p) در N یک مقدار بحرانی است.

بنابراین نباید گفت «عدد c نقطهٔ بحرانی است»؛ زیرا c در فضای مقصد قرار دارد و باید آن را «مقدار بحرانی» نامید.

در حالت تابع حقیقی

اگر تابع از فضای اقلیدسی به خط حقیقی باشد:

f : ℝⁿ → ℝ

آنگاه p دقیقاً وقتی بحرانی است که تمام مشتق‌های جزئی در آن صفر باشند:

∇f(p) = 0

اما برای تابعی با مقصد چندبُعدی، صرفاً صحبت از صفر شدن یک گرادیان کافی نیست؛ بلکه باید رتبهٔ ماتریس ژاکوبی را بررسی کرد.

۲. تعریف دقیق مقدار منظم

عدد c مقدار منظم تابع حقیقی f است، هرگاه برای تمام نقاط تراز c داشته باشیم:

f(p) = c ⇒ dfₚ is surjective

چون مقصد یک‌بُعدی است، پوشا بودن dfₚ معادل صفر نبودن آن است:

f(p) = c ⇒ ∇f(p) ≠ 0

برای اثبات منظم بودن c، کافی نیست تنها یک نقطه از تراز را بررسی کنیم؛ باید تمام نقاط مجموعهٔ f⁻¹(c) بررسی شوند.

نکتهٔ منطقی مهم

اگر مجموعهٔ تراز تهی باشد، شرط بالا به‌صورت تهی‌وار برقرار است. بنابراین هر عدد خارج از تصویر تابع، مقدار منظم است:

c ∉ f(M) ⇒ f⁻¹(c) = ∅

c is a regular value

البته در این حالت، قضیهٔ مقدار منظم فقط می‌گوید پیش‌تصویر یا تهی است یا زیرمنیفلد؛ و اینجا پیش‌تصویر تهی است.

۳. روش استاندارد حل تمرین‌های نقاط بحرانی

برای تابعی از ℝⁿ به ℝ، مراحل زیر را به‌ترتیب انجام می‌دهیم:

1. تمام مشتق‌های جزئی مرتبهٔ اول را محاسبه می‌کنیم.


2. همهٔ آن‌ها را هم‌زمان برابر صفر قرار می‌دهیم.


3. دستگاه حاصل را حل می‌کنیم تا نقاط بحرانی پیدا شوند.


4. مقدار تابع را در هر نقطهٔ بحرانی محاسبه می‌کنیم.


5. اعداد حاصل، مقادیر بحرانی‌اند.


6. برای طبقه‌بندی نقاط بحرانی، ماتریس هسین را بررسی می‌کنیم.


7. برای شناخت هندسهٔ ترازها، معادلهٔ f(x) = c را برای بازه‌های مختلف c تحلیل می‌کنیم.

۴. اجرای روش روی تابع موردنظر

تابع را به‌صورت زیر در نظر می‌گیریم:

f(x,y) = x⁴−x²+(1∕2)y²

مشتق‌های جزئی مرتبهٔ اول عبارت‌اند از:

fₓ(x,y) = 4x³−2x = 2x(2x²−1)

fᵧ(x,y) = y

شرط بحرانی بودن چنین است:

2x(2x²−1) = 0

y = 0

از معادلهٔ نخست داریم:

x = 0

یا:

x = ±1∕√2

پس سه نقطهٔ بحرانی عبارت‌اند از:

(0,0)

(1∕√2,0)

(−1∕√2,0)

۵. یافتن مقادیر بحرانی

اکنون باید تابع را در نقاط بحرانی ارزیابی کنیم:

f(0,0) = 0

در دو نقطهٔ دیگر داریم:

x² = 1∕2

x⁴ = 1∕4

پس:

f(±1∕√2,0) = 1∕4−1∕2 = −1∕4

بنابراین:

critical points = {(0,0),(1∕√2,0),(−1∕√2,0)}

critical values = {−1∕4,0}

توجه کنید که سه نقطهٔ بحرانی داریم، ولی فقط دو مقدار بحرانی؛ زیرا دو نقطهٔ بحرانی مختلف، مقدار یکسان −1∕4 را تولید می‌کنند.

۶. بازنویسی تابع به‌صورت مجموع مربع‌ها

برای شناخت کمینه و تصویر تابع، بهترین کار کامل کردن مربع است:

x⁴−x² = (x²−1∕2)²−1∕4

پس:

f(x,y) = (x²−1∕2)²+(1∕2)y²−1∕4

دو جملهٔ نخست نامنفی‌اند. در نتیجه:

f(x,y) ≥ −1∕4

تساوی زمانی رخ می‌دهد که:

x²−1∕2 = 0

y = 0

یعنی در دو نقطهٔ زیر:

(±1∕√2,0)

بنابراین کمینهٔ مطلق تابع برابر −1∕4 و تصویر تابع چنین است:

Im(f) = [−1∕4,∞)

مزیت این بازنویسی

از یک فرمول واحد، سه نتیجه به دست می‌آید:

• کمینهٔ مطلق تابع مشخص می‌شود.


• محل وقوع کمینه‌ها مشخص می‌شود.


• تهی بودن ترازهای پایین‌تر از −1∕4 فوراً معلوم می‌شود.

۷. طبقه‌بندی نقاط بحرانی با هسین

ماتریس هسین تابع از مشتق‌های مرتبهٔ دوم ساخته می‌شود:

fₓₓ = 12x²−2

fₓᵧ = fᵧₓ = 0

fᵧᵧ = 1

پس هسین تابع یک ماتریس قطری است:

Hf(x,y) = diag(12x²−2,1)

در نقطهٔ مبدأ

در مبدأ داریم:

Hf(0,0) = diag(−2,1)

یکی از مقادیر ویژه منفی و دیگری مثبت است. پس تابع در یک جهت کاهش و در جهت دیگر افزایش می‌یابد. بنابراین مبدأ یک نقطهٔ زینی است.

در دو نقطهٔ دیگر

اگر x² = 1∕2 باشد، داریم:

12x²−2 = 4

در نتیجه:

Hf(±1∕√2,0) = diag(4,1)

هردو مقدار ویژه مثبت‌اند؛ پس این دو نقطه کمینه‌های موضعی‌اند. از بازنویسی تابع به‌صورت مجموع مربع‌ها می‌دانیم که این دو نقطه در حقیقت کمینه‌های مطلق نیز هستند.

۸. تحلیل هندسی مجموعه‌های تراز

مجموعهٔ تراز c با معادلهٔ زیر تعریف می‌شود:

f⁻¹(c) = {(x,y) ∈ ℝ² : x⁴−x²+(1∕2)y² = c}

معادله را می‌توان به صورت زیر نوشت:

(x²−1∕2)²+(1∕2)y² = c+1∕4

برای رسم یا شناخت این مجموعه، باید مقدار c را نسبت به دو مقدار بحرانی −1∕4 و صفر بررسی کنیم.

حالت اول: تراز پایین‌تر از کمینه

c < −1∕4

سمت راست معادله منفی می‌شود، ولی سمت چپ مجموع دو عبارت نامنفی است. بنابراین هیچ جوابی وجود ندارد:

f⁻¹(c) = ∅

این اعداد، با وجود تهی بودن تراز، مقدار منظم‌اند.

حالت دوم: تراز کمینه

c = −1∕4

در این صورت:

(x²−1∕2)²+(1∕2)y² = 0

پس:

f⁻¹(−1∕4) = {(1∕√2,0),(−1∕√2,0)}

این دو نقطه بحرانی‌اند. بنابراین −1∕4 مقدار بحرانی است.

نکتهٔ ظریف آن است که این مجموعه، به‌تنهایی یک منیفلد صفر‌بُعدی است؛ اما نه به دلیل قضیهٔ مقدار منظم. قضیهٔ مقدار منظم در اینجا قابل اعمال نیست، زیرا −1∕4 منظم نیست.

حالت سوم: میان دو مقدار بحرانی

−1∕4 < c < 0

در این بازه، تراز شامل دو منحنی بسته و جدا از هم است. هر منحنی پیرامون یکی از دو کمینه قرار دارد.

چون c مقدار منظم است، تراز یک منیفلد هموار یک‌بُعدی است. این تراز دو مؤلفهٔ همبند دارد و هر مؤلفه با دایره هم‌ریخت است:

f⁻¹(c) ≅ S¹ ⊔ S¹

حالت چهارم: تراز بحرانی صفر

c = 0

معادله به صورت زیر درمی‌آید:

y² = 2x²(1−x²)

یا:

y = ±√2 |x| √(1−x²)

در مبدأ، گرادیان صفر است؛ بنابراین صفر مقدار بحرانی است.

برای شناخت رفتار نزدیک مبدأ، جمله‌های مرتبهٔ دوم تابع را نگه می‌داریم:

f(x,y) ≈ −x²+(1∕2)y²

تراز صفر تقریبی چنین است:

−x²+(1∕2)y² = 0

پس دو خط مماس داریم:

y = √2x

y = −√2x

بنابراین در مبدأ چهار شاخهٔ موضعی دیده می‌شود. حذف مبدأ از یک همسایگی کوچک تراز، چهار مؤلفه به وجود می‌آورد؛ در حالی که حذف یک نقطه از یک بازهٔ باز فقط دو مؤلفه ایجاد می‌کند. پس تراز صفر در مبدأ، منیفلد یک‌بُعدی نیست.

حالت پنجم: ترازهای مثبت

c > 0

در این حالت دو حلقهٔ پیشین از ناحیهٔ مرکزی به یکدیگر متصل شده و یک منحنی بستهٔ هموار می‌سازند. چون c منظم است، این تراز یک منیفلد یک‌بُعدی است.

تراز همچنین فشرده و همبند است؛ پس با دایره هم‌ریخت است:

f⁻¹(c) ≅ S¹

۹. چرا ترازهای منظم واقعاً منیفلدند؟

فرض کنیم p در تراز منظم c قرار دارد. چون گرادیان در p صفر نیست، دست‌کم یکی از مشتق‌های جزئی صفر نیست. برای مثال، فرض کنیم:

fᵧ(p) ≠ 0

طبق قضیهٔ تابع ضمنی، در همسایگی p می‌توان y را تابعی هموار از x نوشت:

y = g(x)

پس مجموعهٔ تراز در نزدیکی p نمودار یک تابع هموار است. نمودار یک تابع تک‌متغیره نیز موضعاً مانند یک بازهٔ باز است؛ بنابراین تراز در آن نقطه یک منیفلد یک‌بُعدی خواهد بود.

اگر به‌جای fᵧ، مشتق fₓ ناصفر باشد، می‌توان x را به‌صورت تابعی از y نوشت:

x = h(y)

بنابراین اصل هندسی قضیهٔ مقدار منظم این است:

ناصفر بودن یک مشتق جزئی اجازه می‌دهد یکی از متغیرها را برحسب متغیرهای دیگر حل کنیم.

۱۰. تفاوت قضیهٔ مقدار منظم و قضیهٔ تابع ضمنی

این دو قضیه بسیار به هم نزدیک‌اند، ولی نقش‌های متفاوتی دارند:

• قضیهٔ تابع ضمنی، توصیفی محلی و مختصاتی ارائه می‌دهد.


• قضیهٔ مقدار منظم، نتیجه‌ای هندسی و سراسری دربارهٔ کل مجموعهٔ تراز بیان می‌کند.

در واقع، قضیهٔ مقدار منظم با کاربرد موضعی قضیهٔ تابع ضمنی در تمام نقاط تراز اثبات می‌شود.

۱۱. بُعد مجموعهٔ تراز

اگر تابع هموار زیر داده شده باشد:

F : ℝⁿ → ℝᵐ

و c مقدار منظم باشد، آنگاه:

dim F⁻¹(c) = n−m

این فرمول را می‌توان چنین فهمید: هر معادلهٔ مستقل، یک درجهٔ آزادی را کم می‌کند.

چند نمونه

یک معادلهٔ منظم در صفحه، معمولاً یک منحنی می‌سازد:

2−1 = 1

یک معادلهٔ منظم در فضای سه‌بُعدی، معمولاً یک سطح می‌سازد:

3−1 = 2

دو معادلهٔ مستقل در فضای سه‌بُعدی، معمولاً یک منحنی می‌سازند:

3−2 = 1

اما واژهٔ «مستقل» ضروری است. اگر معادلات از نظر مشتقی مستقل نباشند، فرمول بُعد را نمی‌توان مستقیماً به کار برد.

۱۲. فضای مماس و گرادیان

اگر c مقدار منظم f باشد و p روی تراز c قرار گیرد، فضای مماس تراز در p برابر هستهٔ مشتق است:

Tₚ(f⁻¹(c)) = ker(dfₚ)

برای تابع حقیقی داریم:

dfₚ(v) = ∇f(p) · v

پس:

Tₚ(f⁻¹(c)) = {v : ∇f(p) · v = 0}

یعنی هر بردار مماس بر گرادیان عمود است. بنابراین:

• گرادیان جهت نرمال تراز را نشان می‌دهد.


• هستهٔ مشتق، جهت‌های مماس را تعیین می‌کند.


• صفر شدن گرادیان باعث از دست رفتن نرمال طبیعی می‌شود و امکان پیدایش تکینگی را فراهم می‌کند.

فضای مماس در مثال اصلی

در یک نقطهٔ منظم (x,y) از تراز، بردار مماس (a,b) باید شرط زیر را ارضا کند:

(4x³−2x)a + yb = 0

یک بردار مماس صریح را می‌توان با چرخاندن گرادیان به اندازهٔ نود درجه ساخت:

v = (−y,4x³−2x)

زیرا ضرب داخلی این بردار با گرادیان صفر است.

۱۳. چند نکتهٔ مهم دربارهٔ قضیهٔ مقدار منظم

نکتهٔ نخست: منظم نبودن، لزوماً به معنای منیفلد نبودن نیست

اگر c مقدار منظم باشد، حتماً تراز یک منیفلد است. اما عکس این گزاره همواره درست نیست.

برای مثال، تابع زیر را در نظر بگیرید:

g(x,y) = (x²+y²−1)²

تراز صفر آن دایرهٔ واحد است:

g⁻¹(0) = S¹

اما گرادیان g روی تمام دایره صفر است. پس صفر مقدار منظم نیست، بااین‌حال تراز صفر یک منیفلد هموار است.

بنابراین قضیهٔ مقدار منظم یک شرط کافی ارائه می‌کند، نه شرط لازم.

نکتهٔ دوم: مقدار بحرانی همیشه تراز تکین نمی‌سازد

وجود نقطهٔ بحرانی در تراز فقط می‌گوید قضیهٔ مقدار منظم قابل اعمال نیست. برای تشخیص منیفلد بودن یا نبودن تراز باید هندسهٔ خود مجموعه را جداگانه بررسی کرد.

نکتهٔ سوم: هر نقطهٔ بحرانی الزاماً بیشینه یا کمینه نیست

نقطهٔ بحرانی می‌تواند یکی از حالت‌های زیر باشد:

• کمینهٔ موضعی؛


• بیشینهٔ موضعی؛


• نقطهٔ زینی؛


• نقطهٔ منحط که آزمون هسین دربارهٔ آن نتیجهٔ قطعی نمی‌دهد.

در مثال حاضر، مبدأ زینی و دو نقطهٔ دیگر کمینه‌اند.

نکتهٔ چهارم: تعداد نقاط بحرانی با تعداد مقادیر بحرانی برابر نیست

چند نقطهٔ بحرانی می‌توانند زیر تابع به یک مقدار مشترک فرستاده شوند. در مثال حاضر، دو کمینهٔ متفاوت هر دو مقدار −1∕4 دارند.

۱۴. ارتباط با نظریهٔ مورس

تابع موردنظر نمونه‌ای مناسب برای ورود به نظریهٔ مورس است. یک نقطهٔ بحرانی را نامنحط می‌گوییم اگر هسین در آن وارون‌پذیر باشد.

در سه نقطهٔ بحرانی مثال، دترمینان هسین ناصفر است:

det Hf(0,0) = −2

det Hf(±1∕√2,0) = 4

پس هر سه نقطهٔ بحرانی نامنحط‌اند و f یک تابع مورس است.

اندیس مورس

اندیس مورس برابر تعداد جهت‌هایی است که هسین در آن‌ها مقدار ویژهٔ منفی دارد.

برای دو کمینه:

index = 0

برای نقطهٔ زینی مبدأ:

index = 1

از دید توپولوژیک:

• در تراز −1∕4 دو مؤلفه متولد می‌شوند.


• در تراز صفر یک دستهٔ یک‌بُعدی افزوده می‌شود و دو مؤلفه را به هم پیوند می‌دهد.

از همین‌جاست که نظریهٔ مورس، نقاط بحرانی تابع را به تغییر توپولوژی فضا مرتبط می‌کند.

۱۵. مجموعه‌های زیرتراز

گاهی به‌جای خود تراز، مجموعهٔ زیرتراز را بررسی می‌کنیم:

M𝑐 = {(x,y) ∈ ℝ² : f(x,y) ≤ c}

رفتار این مجموعه‌ها چنین است:

• برای c کمتر از −1∕4، مجموعه تهی است.


• در c برابر −1∕4، دو نقطه پدید می‌آید.


• کمی بالاتر از −1∕4، دو ناحیهٔ دیسک‌مانند جدا داریم.


• در c برابر صفر، دو ناحیه در نقطهٔ زینی به هم می‌رسند.


• برای c مثبت، یک ناحیهٔ همبند پدید می‌آید.

تراز f⁻¹(c) معمولاً مرز مجموعهٔ زیرتراز M𝑐 است، به‌ویژه هنگامی که c مقدار منظم باشد.

۱۶. تعبیر رده‌ای دقیق‌تر

مجموعهٔ تراز را می‌توان به‌صورت حاصل‌ضرب کشیده معرفی کرد. نگاشت‌های زیر را در نظر می‌گیریم:

f : M → ℝ

ι𝑐 : {∗} → ℝ

که در آن:

ι𝑐(∗) = c

آنگاه در ردهٔ مجموعه‌ها داریم:

f⁻¹(c) ≅ M ×ℝ {∗}

عنصر حاصل‌ضرب کشیده یک زوج (p,∗) است که شرط زیر را ارضا می‌کند:

f(p) = ι𝑐(∗) = c

پس چنین زوج‌هایی دقیقاً با نقاط مجموعهٔ تراز متناظرند.

هشدار رده‌ای مهم

در ردهٔ مجموعه‌ها و ردهٔ فضاهای توپولوژیک، حاصل‌ضرب کشیدهٔ دلخواه وجود دارد. اما در ردهٔ منیفلدهای هموار، حاصل‌ضرب کشیدهٔ دو نگاشت دلخواه لزوماً یک منیفلد هموار نیست.

برای آنکه حاصل‌ضرب کشیده ساختار منیفلدی داشته باشد، معمولاً شرط عرضی بودن لازم است. در مسئلهٔ مجموعهٔ تراز، عرضی بودن f با نگاشت انتخاب نقطهٔ c دقیقاً با منظم بودن c ارتباط دارد.

پس قضیهٔ مقدار منظم را می‌توان چنین تعبیر کرد:

هرگاه برخورد نگاشت f با نقطهٔ c عرضی باشد، حاصل‌ضرب کشیدهٔ آن‌ها یک منیفلد هموار می‌شود.

۱۷. نمونهٔ کره به‌عنوان تراز منظم

تابع زیر را تعریف می‌کنیم:

F : ℝ³ → ℝ

F(x,y,z) = x²+y²+z²

کرهٔ واحد مجموعهٔ تراز یک است:

S² = F⁻¹(1)

گرادیان تابع چنین است:

∇F(x,y,z) = (2x,2y,2z)

این گرادیان فقط در مبدأ صفر است؛ ولی مبدأ روی تراز یک قرار ندارد. بنابراین یک مقدار منظم است و:

dim S² = 3−1 = 2

فضای مماس کره در نقطهٔ p نیز چنین است:

TₚS² = {v ∈ ℝ³ : p · v = 0}

یعنی فضای مماس، صفحه‌ای است که بر بردار شعاعی p عمود است.

۱۸. اشتباهات رایج

• برابر دانستن نقطهٔ بحرانی با مقدار بحرانی؛


• بررسی فقط یک نقطه برای اثبات منظم بودن یک مقدار؛


• فراموش کردن اینکه تراز تهی نیز با تعریف مقدار منظم سازگار است؛


• نتیجه گرفتن اینکه هر مقدار بحرانی حتماً تراز غیرمنیفلدی دارد؛


• نتیجه گرفتن اینکه هر نقطهٔ بحرانی حتماً بیشینه یا کمینه است؛


• استفاده از فرمول n−m بدون بررسی پوشا بودن مشتق؛


• فرض اینکه حاصل‌ضرب کشیده در ردهٔ منیفلدها همیشه وجود دارد؛


• استفاده از قضیهٔ مقدار منظم در خود مقدار بحرانی؛


• خلط تراز f⁻¹(c) با زیرتراز f⁻¹((−∞,c])؛


• نادیده گرفتن این احتمال که چند نقطهٔ بحرانی یک مقدار بحرانی مشترک داشته باشند.

۱۹. خلاصهٔ امتحانی

برای یافتن نقاط بحرانی:

∇f = 0

برای یافتن مقادیر بحرانی: مقدار تابع را در نقاط بحرانی محاسبه می‌کنیم.

برای منظم بودن c:

f(p) = c ⇒ ∇f(p) ≠ 0

بُعد تراز منظم:

dim f⁻¹(c) = dim(domain)−dim(codomain)

فضای مماس تراز:

Tₚ(f⁻¹(c)) = ker(dfₚ)

بردار نرمال تراز حقیقی:

normal vector = ∇f(p)

در مثال اصلی:

critical points = {(0,0),(±1∕√2,0)}

critical values = {−1∕4,0}

−1∕4 < c < 0 ⇒ f⁻¹(c) ≅ S¹ ⊔ S¹

c > 0 ⇒ f⁻¹(c) ≅ S¹

c = 0 ⇒ singular level at the origin

نتیجه‌گیری

مشتق، تنها ابزار محاسبه نیست؛ دیده‌بانِ شکل است. هرجا مشتق رتبهٔ کامل دارد، مجموعهٔ تراز نرم و منظم پیش می‌رود؛ و هرجا رتبه فرو می‌افتد، امکان زایش، پیوند، گسست یا خودتقاطع فراهم می‌شود.

در مثال موردبحث، دو کمینه دو حلقهٔ جدا را پدید می‌آورند و نقطهٔ زینی مبدأ آن دو را به یکدیگر پیوند می‌دهد. ازاین‌رو مقادیر بحرانی تنها چند عدد ساده نیستند؛ مرزهای دگرگونی توپولوژیک‌اند.

جان سخن: مقدار منظم، تراز را نرم می‌سازد؛ نقطهٔ بحرانی، شکل را آمادهٔ دگرگونی می‌سازد؛ و نظریهٔ مورس، از همین دگرگونی‌ها زبان هندسه و توپولوژی می‌پردازد.